Poisson GLM sonuçlarında parametre tahminleri nasıl yorumlanır [kapalı]

Call:
glm(formula = darters ~ river + pH + temp, family = poisson, data = darterData)

Deviance Residuals:
    Min      1Q   Median     3Q    Max
-3.7422 -1.0257   0.0027 0.7169 3.5347

Coefficients:
              Estimate Std.Error z value Pr(>|z|)
(Intercept)   3.144257  0.218646  14.381  < 2e-16 ***
riverWatauga -0.049016  0.051548  -0.951  0.34166
pH            0.086460  0.029821   2.899  0.00374 **
temp         -0.059667  0.009149  -6.522  6.95e-11 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
Null deviance: 233.68 on 99 degrees of freedom
Residual deviance: 187.74 on 96 degrees of freedom
AIC: 648.21

Yukarıdaki tabloda her bir parametre tahmininin nasıl yorumlanacağını bilmek istiyorum.

Sorunuzun başlığının, ne istediğinizi doğru bir şekilde yakaladığını düşünmüyorum.

GLM'deki parametrelerin nasıl yorumlanacağı sorusu çok geniştir çünkü GLM çok geniş bir model sınıfıdır. Bir GLM'nin üstel aileden bilinen bir dağılımı takip ettiği varsayılan yanıt değişkenini modellediğini ve ters çevrilebilir bir fonksiyon seçtiğimizi hatırlayın için öngörücü değişkenleri . Bu modelde, herhangi bir parametresinin yorumlanması , nin göre . tanımlayın$y$$g$

$$\mathrm{E}\left[y\,|\,x\right] = g^{-1}{\left(x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J\right)}$$ $J$$x$$\beta_j$$g(y)$$x_j$$\mu \equiv \mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]} = g^{-1}{\left(x\right)}$ve gösterimi temiz tutmak için . Ardından, , Şimdi tanımlamak bir vektör olarak sıfır ve tek bir içinde , inci pozisyon bu nedenle örneğin eğer , sonra . Sonra $\eta \equiv x \cdot \beta$$j \in \{1,\dots,J\}$ $$\beta_j = \frac{\partial\,\eta}{\partial\,x_j} = \frac{\partial\,g(\mu)}{\partial\,x_j} \text{.}$$ $\mathfrak{e}_j$$J-1$$1$$j$$J=5$$\mathfrak{e}_3 = \left(0,0,1,0,0\right)$ $$\beta_j = g{\left(\mathrm{E}{\left[y\,|\,x + \mathfrak{e}_j \right]}\right)} - g{\left(\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}\right)}$$

Hangi sadece araçlar üzerindeki etkisidir bir birim artış .$\beta_j$$\eta$$x_j$

şu şekilde de ifade edebilirsiniz: ve

$$\frac{\operatorname{\partial}\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{d}\mu}{\operatorname{d}\eta}\frac{\operatorname{\partial}\eta}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}\eta} \beta_j = \frac{\operatorname{d}g^{-1}}{\operatorname{d}\eta} \beta_j$$ $$\mathrm{E}{\left[y\,|\,x + \mathfrak{e}_j \right]} - \mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]} \equiv \operatorname{\Delta_j} \hat y = g^{-1}{\left( \left(x + \mathfrak{e}_j\right)\beta \right)} - g^{-1}{\left( x\,\beta \right)}$$

hakkında hiçbir şey bilmeden alabildiğimiz kadarıyla. üzerindeki etkisi transforme koşullu ortalama üzerinde, bir birim artış, ve koşullu ortalama etkisi bir birim artış olan .$g$$\beta_j$$\eta$$y$$x_j$$y$$x_j$$g^{-1}{\left(\beta\right)}$

---

Ama R'nin varsayılan bağlantı işlevini kullanarak Poisson regresyonunu özellikle soruyorsunuz, ki bu durumda doğal logaritma. Bu durumda, ve olan belirli bir GLM türünü soruyorsunuz . Sonra belirli bir yorum konusunda biraz çekiş yapabiliriz.$y \sim \mathrm{Poisson}{\left(\lambda\right)}$$g = \ln$

Yukarıda söylediğimden, . Ve bildiğimiz için, olduğunu da biliyoruz . Ayrıca verdiğini biliyorum , diyebiliriz ki $\frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{d}g^{-1}}{\operatorname{d}\eta} \beta_j$$g(\mu) = \ln(\mu)$$g^{-1}(\eta) = e^\eta$$\frac{\operatorname{d}e^\eta}{\operatorname{d}\eta} = e^\eta$

$$\frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}}{\operatorname{\partial}x_j} = e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J}\beta_j$$

Sonunda somut bir şey anlamına gelir:

Çok küçük bir değişiklik göz önüne alındığında , monte tarafından değişiklikler .$x_j$$\hat y$$\hat y\,\beta_j$

Not: Bu yaklaşım, ne kadar hassasiyete ihtiyacınız olduğuna bağlı olarak, 0.2 kadar büyük değişiklikler için gerçekten işe yarayabilir.

Ve daha bilindik birim değişiklik yorumunu kullanarak: olan araçlar

$$\begin{align} \operatorname{\Delta_j} \hat y &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + \left(x_j + 1\right)\,\beta_j + \dots + x_J\beta_J } - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J + \beta_j} - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J}e^\beta_j - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \left( e^\beta_j - 1 \right) \end{align}$$

Bir birim değişiklikten dolayı , monte tarafından değişiklikler .y y ( E β j - 1 $x_j$$\hat y$$\hat y \left( e^\beta_j - 1 \right)$

Burada dikkat edilmesi gereken üç önemli parça vardır:

1. Öngörücülerdeki bir değişikliğin etkisi, yanıt düzeyine bağlıdır.
2. Öngörücülerdeki ilave bir değişikliğin yanıt üzerinde çarpma etkisi vardır.
3. Katsayıları sadece okuyarak yorumlayamazsınız (kafanızda keyfi üstel değerleri hesaplayamazsanız).

Yani örnekte, 1 artarak pH etkisi artırmaktır tarafından ; yani ile çarpılır . Sonuç, sabit bir zaman diliminde (örneğin, bir hafta) gözlemlediğiniz dart sayısıdır. Yani haftada 100 ok da 6,7 ​​pH'da gözlemliyorsanız, nehrin pH'ını 7,7'ye yükseltmek artık haftada 109 dart görmeyi bekleyebileceğiniz anlamına geliyor.$\ln \hat y$ y e0.09≈$\hat y \left( e^{0.09} - 1 \right)$ $\hat y$$e^{0.09} \approx 1.09$

Benim önerim, iki nehrin birleşiminden ve ortak değişkenlerin her birinin iki veya üç değerinden oluşan küçük bir ızgara oluşturmak, ardından predictişlevi ızgara ile birlikte kullanmak olacaktır newdata. Sonra sonuçları grafiğe alın. Modelin gerçekte öngördüğü değerlere bakmak çok daha açıktır. Tahminleri orijinal ölçüm ölçeğine ( type = "response") geri dönüştürmek isteyebilir veya istemeyebilirsiniz .