Otokovaryans
İki değişken y1,y2 arasındaki korelasyon şöyle tanımlanır:
ρ=E[(y1−μ1)(y2−μ2)]σ1σ2=Cov(y1,y2)σ1σ2,
burada E, beklenti operatörü, μ1 veμ2 araçlar için sırasıylay1 vey2 veσ1,σ2 standart sapmaları göstermektedir.
Tek bir değişken bağlamında, yani otomatik -correlation, y1 orijinal dizi ve bir y2 bunun bir gecikmeli bir versiyonu. Yukarıdaki tanım üzerine, sipariş örnek otokorelasyon k=0,1,2,...gözlenen dizi aşağıdaki ifadeyi hesaplanmasıyla elde edilebilir yt , t=1,2,...,n :
ρ(k)=1n−k∑nt=k+1(yt−y¯)(yt−k−y¯)1n∑nt=1(yt−y¯)2−−−−−−−−−−−−−√1n−k∑nt=k+1(yt−k−y¯)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√,
burada y¯ verilerin örnek ortalamasıdır.
Kısmi otokorelasyonlar
Kısmi otokorelasyonlar, her iki değişkeni etkileyen diğer değişken (ler) in etkisini kaldırdıktan sonra bir değişkenin doğrusal bağımlılığını ölçer. Örneğin, sipariş önlemleri etkisi (doğrusal bağımlılık) kısmi otokorelasyon yt−2 ile yt etkisini çıkarıldıktan sonra yt−1 hem de yt ve yt−2 .
Her kısmi otokorelasyon, formun bir dizi regresyonu olarak elde edilebilir:
y~t=ϕ21y~t−1+ϕ22y~t−2+et,
burada y~t orijinal seri eksi örnek ortalamasıdır, yt−y¯ . ϕ22 tahmini, 2. siparişin kısmi otokorelasyonunun değerini verecektir. Regresyonu k ek gecikmelerle genişleterek , son dönemin tahmini k sırasının kısmi otokorelasyonunu verecektir .
Örnek kısmi otokorelasyonları hesaplamanın alternatif bir yolu, her bir k sırası için aşağıdaki sistemi çözmektir :
⎛⎝⎜⎜⎜⎜ρ(0)ρ(1)⋮ρ(k−1)ρ(1)ρ(0)⋮ρ(k−2)⋯⋯⋮⋯ρ(k−1)ρ(k−2)⋮ρ(0)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜ϕk1ϕk2⋮ϕkk⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜ρ(1)ρ(2)⋮ρ(k)⎞⎠⎟⎟⎟⎟,
burada ρ(⋅) , örnek otokorelasyonlardır. Örnek otokorelasyonlar ve kısmi otokorelasyonlar arasındaki bu eşleme Durbin-Levinson özyinelemesi olarak bilinir
. Bu yaklaşımın gösterim amacıyla uygulanması nispeten kolaydır. Örneğin, R yazılımında, sipariş 5'in kısmi otokorelasyonunu aşağıdaki gibi elde edebiliriz:
# sample data
x <- diff(AirPassengers)
# autocorrelations
sacf <- acf(x, lag.max = 10, plot = FALSE)$acf[,,1]
# solve the system of equations
res1 <- solve(toeplitz(sacf[1:5]), sacf[2:6])
res1
# [1] 0.29992688 -0.18784728 -0.08468517 -0.22463189 0.01008379
# benchmark result
res2 <- pacf(x, lag.max = 5, plot = FALSE)$acf[,,1]
res2
# [1] 0.30285526 -0.21344644 -0.16044680 -0.22163003 0.01008379
all.equal(res1[5], res2[5])
# [1] TRUE
Güven grupları
Güven bantları, numune otokorelasyonlarının değeri ± z 1 - α / 2 olarak hesaplanabilir±z1−α/2n√z1−α/21−α/2
Bazen sipariş arttıkça artan güven bantları kullanılır. Bu durumlarda bantlar olarak tanımlanabilir.±z1−α/21n(1+2∑ki=1ρ(i)2)−−−−−−−−−−−−−−−−√.