Karışık dağıtım için ters CDF örneklemesi

Bağlam dışı kısa versiyon

, CDF ile rastgele bir değişken olsun$y$

$$F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0}$$

Diyelim ki ters CDF yöntemini kullanarak çizimlerini simüle etmek istedim . Mümkün mü? Bu fonksiyonun tam tersi yoktur. Daha sonra , iki normal dağılımın karışım dağılımı için ters dönüşüm örneklemesi var, bu da burada ters dönüşüm örneklemesini uygulamanın bilinen bir yolu olduğunu gösteriyor.$y$

İki adımlı yöntemin farkındayım, ancak bunu durumuma nasıl uygulayacağımı bilmiyorum (aşağıya bakın).

---

Arka plana sahip uzun versiyon

Bir MCMC (özellikle Stan) kullanarak , vektör değerli bir yanıt için aşağıdaki modeli , :$y^i = \left( y_1 , \dots , y_K \right)^i$

$$\theta_k^i \equiv \operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right), \quad \mu_k^i \equiv \beta_k x^i - \frac{ \sigma^2_k }{ 2 } \\ F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0} \\ u_k \equiv F(y_k), \quad z_k \equiv\Phi^{-1}{\left( u_k \right)} \\ z \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, R) \times \prod_k f(y_k) \\ \left( \alpha, \beta, \sigma, R \right) \sim \text{priors}$$

burada gözlemini indeksler , bir korelasyon matrisidir ve bir prediktör / regresör / özellik vektörüdür.$i$$N$$R$$x$

Yani, modelim, yanıtın koşullu dağılımının sıfır şişirilmiş log-normal marjinalleri olan bir Gauss kopula olduğu varsayıldığı bir regresyon modelidir. Bu model hakkında daha önce yayınladım; Song, Li ve Yuan'ın (2009, kapılı ) geliştirdiği ve buna bir vektör GLM veya VGLM dediği ortaya çıktı. Aşağıdakiler, alabildiğim kadar kelimesi kelimesine yakındır: My

$$f(\mathbf{y}; \mathbf{\mu}, \mathbf{\varphi}, \Gamma) = c\{ G_1(y_1), \dots, G_m(y_m) | \Gamma \} \prod_{i=1}^m g(y_i; \mu_i, \varphi_i) \\ c(\mathbf{u} | \Gamma) = \left| \Gamma \right|^{-1/2}\exp\left( \frac{1}{2} \mathbf{q}^T \left( I_m - \Gamma^{-1} \right) \mathbf{q} \right) \\ \mathbf{q} = \left( q_1, \dots, q_m \right)^T, \quad q_i = \Phi^{-1}(u_i)$$ $F_K$bunların karşılık gelir , benim onların karşılık gelir , ve benim onların için tekabül ; ayrıntılar 62. sayfada (PDF dosyasının 3. sayfası), ancak aksi takdirde burada yazdıklarımla aynı.$G_m$$z$$\mathbf{q}$$R$$\Gamma$

Sıfır şişirilmiş kısım kabaca Liu ve Chan şartnamesini izler (2010, söylenmemiş ).

Şimdi tahmin edilen parametrelerden veri simülasyonu yapmak istiyorum, ancak bunun nasıl yapılacağı konusunda biraz kafam karıştı. İlk önce sadece doğrudan simüle (R kodu) düşündüm :$y$

for (i in 1:N) {
    for (k in 1:K) {
        Y_hat <- rbinom(1, 1, 1 - theta[i, k])
        if (Y_hat == 1)
            Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])
    }
}

ki bu hiç kullanmıyor . Tahmin ettiğim korelasyon matrisini gerçekten kullanmaya çalışmak istiyorum.$R$

Bir sonraki fikrim çizimlerini alıp tekrar dönüştürmekti . Bu aynı zamanda , Sklar'ın kopula teoreminde ifade edilen dağılım için R ve İki Değişkenli örneklemde Kopula'dan örnek oluşturmadaki cevaplarla çakışıyor gibi görünüyor mu? . Ama buradaki ne halt ? İki normal dağılımın karışım dağılımı için ters dönüşüm örneklemesi bunu mümkün kılar, ancak nasıl yapılacağı hakkında hiçbir fikrim yok.$z$$y$$F^{-1}$

Arka plana sahip uzun versiyonun cevabı:

Uzun sürüme verilen bu cevap bir şekilde başka bir sorunu ele alıyor ve modeli ve sorunu formüle etmekte zorlandığımız için, umarım doğru bir şekilde burada tekrar yazmayı seçiyorum.

İçin $1\le i\le I$, amaç vektörleri simüle etmektir $y^i=(y^i_1,\ldots,y^i_K)$ öyle ki, bir değişkene bağlı $x^i$,

$$y_k^i = \begin{cases} 0 &\text{ with probability }\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\\ \log(\sigma_k z_k^i + \beta_k x^i) &\text{ with probability }1-\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\end{cases}$$ ile $z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$. Bu nedenle, eğer bu modelden veri simülasyonu yapmak istiyorsa, aşağıdaki gibi devam edilebilir:

İçin $1\le i\le I$,

1. üretmek $z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$
2. üretmek $u^i_1,\ldots,u^i_K \stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{U}(0,1)$
3. Derive $y^i_k=\mathbb{I}\left\{u^i_k>\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\right\}\, \log\{ \sigma_k z_k^i + \beta_k x^i\}$ için $1\le k\le K$

Birinin arka tarafındaki nesillerle ilgilenmesi durumunda $(\alpha,\beta,\mu,\sigma,R)$ verilen $y^i_ k$, Gibbs örneklemesi veya ABC tarafından mümkün olsa da, bu daha zor bir sorundur.

Bağlam dışı kısa versiyonun cevabı:

Monte Carlo ders kitaplarının çoğunda anlatıldığı gibi, matematiksel anlamda (karışık dağıtımınız gibi) ters çevrilemeyen bir cdf'yi "tersine çevirmek" mümkündür. ( Bizimki gibi , Lemma 2.4'e bakın.) Genelleştirilmiş tersi tanımlarsanız

$$F^{-}(u) = \inf\left\{ x\in\mathbb{R};\ F(x)\ge u \right\}$$ sonra $$X \sim F \text{ is equivalent to } X=F^{-}(U)\text{ when } U\sim\mathcal{U}(0,1)\,.$$ Bu demektir ki, ne zaman $F(y)$ sıçramak $\theta$ en $y=0$, $F^{-}(u)=0$ için $u\le\theta$. Başka bir deyişle, üniforma çizerseniz$\mathcal{U}(0,1)$ ve daha küçük $\theta$, senin neslin $X$ dır-dir $x=0$. Başka, ne zaman$u>\theta$, sürekli parçadan, yani davanızdaki log-normalden üretilir. Bu ikinci bir üniform rasgele nesil kullanmak anlamına gelir,$v$, ilk düzgün çekme ve ayardan bağımsız $y=\exp(\mu+\sigma\Phi^{-1}(v))$ log-normal bir nesil elde etmek.

Bu neredeyse R kodunuz

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k]) if (Y_hat == 1) Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])

yapıyor. Olasılıkla bir Bernoulli üretiyorsunuz$\theta_k^i$ ve eğer eşitse $1$, bunu bir günlük normaline dönüştürürsünüz. Olasılıkla 1'e eşit olduğu için$\theta_k^i$bunun yerine, sıfıra eşit olduğunda ve değiştirilen R koduyla biten bir günlük normal simülasyonuna dönüştürmeniz gerekir :

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k])
    if (Y_hat == 0)
        Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])