R'nin ilginç türevi

Yıllar önce bu kimliği veri ve dönüşümlerle oynayarak yapılan deneylerle buldum. İstatistik profesörüme açıkladıktan sonra, bir sonraki sınıfa vektör ve matris notasyonu kullanarak tek sayfalık bir kanıtla geldi. Ne yazık ki bana verdiği kağıdı kaybettim. (Bu 2007'de geri döndü)

Bir kanıt ispatlayabilir mi?

İzin Vermek $(x_i,y_i)$ orijinal veri noktalarınız olun. Orijinal kümesini açıya göre döndürerek yeni bir veri noktası kümesi tanımlayın $\theta$ ; bu noktaları ara $(x'_i,y'_i)$ .

Orijinal nokta kümesinin R kare değeri, türevin negatif ürününe eşittir. $\theta$ her biri değerlendirilen yeni nokta kümesinin her koordinatı için standart sapmanın doğal günlüğünün $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
kaynak

Türev, sembolik manipülasyonun özellikle ilginç bir uygulaması değildir. Dan beri,

\begin{aligned} {\frac{d x^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = - y, \\ {\frac{d y^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = x, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$ ve

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{x^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = - 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln (s_{x^{'}}) |}_{θ = 0} = - \frac{s_{x y}}{s_{x}^{2}}, {\frac{d}{d θ} \ln (s_{y^{'}}) |}_{θ = 0} = \frac{s_{x y}}{s_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ ve sonuç takip eder.

Böyle bir denklemi nasıl bulduğunuzu, özellikle de belirli bir denemenin böyle bir kimliği ortaya çıkardığını merak ediyorum.

— Khashaa
kaynak

Teşekkürler! Bu aslında hatırladığım kanıtından çok daha basit. Kimlik yıllar önce sadece verilerle oynayarak ortaya çıktı; tekmeler için sadece rotasyonlar, standart sapmalar, türevler, logaritmalar, ekleme, çarpma, vb. Bazen geçtiler, ama 'garip' açılardan; bazen asla geçmedi. Sonra bir şekilde teta = sıfırdan geçtiler. İlginç olduğunu düşündüm. Diğer rastgele verilerle test edildi ve hala tutuldu. Nasıl çalıştığını görmedim, ama düzgün bir kimlik düşündüm.

— sheppa28