Önceden belirlenmiş bir sparite paterni ile simetrik pozitif tanımlı matris üretin

Önceden belirlenmiş bir sparite yapısı ( düğümleri üzerinde bir grafik tarafından belirtilen) ile bir korelasyon matrisi (simetrik psd) üretmeye çalışıyorum . Grafikte bağlı olan düğümler korelasyonuna sahiptir , geri kalanı 0 ve köşegen hepsi 1'dir.$p\times p$$p$$\rho \sim U(0,1)$

Bu matrisi birkaç kez oluşturmayı denedim, ancak nadiren geçerli bir korelasyon matrisi elde ettim.

Ben bir korelasyon matris whp sağlamak bir yolu var mı? Ben sadece pozitif korelasyon olabilir bu yüzden vb bir seçenek değildir unutmayın.$\rho \sim U(-1,1)$

Herhangi bir yardım büyük beğeni topluyor!

@Rodrigo de Azevedo için hiçbir puro ama kapatın.

Çözüm, maksimum değeri bulmak için semidefinite programlama kullanmak, $\rho_{max}$ve minimum değer (negatif olmayan duruma bağlı), $\rho_{min}$, nın-nin $\rho$öyle ki, öngörülen azlık paterni ile korelasyon matrisi pozitif semidefinit (psd) olacaktır. Tüm değerleri$\rho$ öyle ki $\rho_{max}\le \rho \le \rho_{max}$, psd matrisleri üretecek (okuyucu için egzersiz)

Bu nedenle, $\rho$ yalnızca değerleri alabilir $[\rho_{max},\rho_{max}]$veya kabul / reddetme yöntemini kullanmanız ve oluşturulan $\rho$ psd matrisi üretmeyenler.

MATLAB altında YALMIP kullanan 4'e 4 matris örneği

sdpvar rho % declare rho to be a scalar variable
% find maximum value of rho (by minimizing -rho) subject to prescribed matrix being psd.
optimize([1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,-rho) 
% find minimum value of rho subject to prescribed matrix being psd and rho being >= 0.
optimize([[1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,rho >= 0],rho) 

Sonuçlar: maksimum rho = 0.57735, minimum rho = 0. Boyut veya sparite örüntüsü ne olursa olsun, sıfırın rho'nun negatif ve öngörülen matrisin psd olduğu asgari rho değeri olacağı açıkça görülmektedir. Bu nedenle, minimum negatif olmayan değerini bulmak için semidefinite optimizasyonunu çalıştırmak gereksizdir.$\rho$.

Bir korelasyon matrisi simetrik, pozitif semidefinittir ve $1$ana köşegeninde. Bir bulabilirsiniz$n \times n$objektif fonksiyonun keyfi olduğu (örneğin, sıfır fonksiyon) aşağıdaki semidefinite programını (SDP) çözerek korelasyon matrisi

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

Eğer kişi kısıtlama gibi ek kısıtlamalara sahipse

$$x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]$$

ve olumsuzluk kısıtlamaları, $\mathrm X \geq \mathrm O_n$, sonra aşağıdaki SDP çözülür

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]\\ & \mathrm X \geq \mathrm O_n\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

---

bir $3 \times 3$ misal

Diyelim ki sahip olmak istiyoruz $x_{13} = 0$ ve $x_{12}, x_{23} \geq 0$. İşte bir MATLAB + CVX betiği,

cvx_begin sdp

    variable X(3,3) symmetric

    minimize( trace(zeros(3,3)*X) )
    subject to

        % put ones on the main diagonal
        X(1,1)==1
        X(2,2)==1
        X(3,3)==1

        % put a zero in the northeast and southwest corners
        X(1,3)==0

        % impose nonnegativity
        X(1,2)>=0
        X(2,3)>=0

        % impose positive semidefiniteness
        X >= 0

cvx_end

Senaryoyu çalıştırmak,

Calling sedumi: 8 variables, 6 equality constraints
------------------------------------------------------------
SeDuMi 1.21 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
eqs m = 6, order n = 6, dim = 12, blocks = 2
nnz(A) = 8 + 0, nnz(ADA) = 36, nnz(L) = 21
 it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
  0 :            3.00E+000 0.000
  1 : -1.18E-001 6.45E-001 0.000 0.2150 0.9000 0.9000   1.86  1  1  1.2E+000
  2 : -6.89E-004 2.25E-002 0.000 0.0349 0.9900 0.9900   1.52  1  1  3.5E-001
  3 : -6.48E-009 9.72E-007 0.097 0.0000 1.0000 1.0000   1.01  1  1  3.8E-006
  4 : -3.05E-010 2.15E-009 0.000 0.0022 0.9990 0.9990   1.00  1  1  1.5E-007
  5 : -2.93E-016 5.06E-015 0.000 0.0000 1.0000 1.0000   1.00  1  1  3.2E-013

iter seconds digits       c*x               b*y
  5      0.3   5.8  0.0000000000e+000 -2.9302886987e-016
|Ax-b| =  1.7e-015, [Ay-c]_+ =  6.1E-016, |x|= 2.0e+000, |y|= 1.5e-015

Detailed timing (sec)
   Pre          IPM          Post
1.563E-001    2.500E-001    1.094E-001    
Max-norms: ||b||=1, ||c|| = 0,
Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.
------------------------------------------------------------
Status: Solved
Optimal value (cvx_optval): +0

CVX'in hangi çözümü bulduğunu görelim,

>> X

X =

    1.0000    0.4143         0
    0.4143    1.0000    0.4143
         0    0.4143    1.0000

Bu matris pozitif semidefinit mi? Olumlu kesin mi?

>> rank(X)

ans =

     3

>> eigs(X)

ans =

    1.5860
    1.0000
    0.4140

Beklendiği gibi, pozitif tanımlayıcıdır. Sıfır (doğrusal) objektif bir fonksiyon seçerek pozitif semidefinite korelasyon matrislerini bulabiliriz.