Tip I ve II hatalarının olasılıkları arasında negatif bir ilişki var mı?

11

TA olduğum bir ilköğretim istatistik sınıfında profesör, tip I hata olasılığı arttıkça, tip II hata olasılığının azaldığını ve bunun tersinin de geçerli olduğunu belirtti. Bu bana . $\alpha$ $\beta$ $\rho_{\alpha, \beta} < 0$

Fakat genel bir hipotez testi için bunu nasıl kanıtlayabiliriz? İfade genel olarak doğru mu?

Belirli bir vakayı deneyebilirim ( ve ) ama açıkçası, bu soruyu ele alacak kadar genel değil. $H_0: \mu = \mu_0$ $H_1: \mu < \mu_0$

probability hypothesis-testing type-i-and-ii-errors

— Klarnetçi
kaynak

13

Bu miktarlar ( ve ) rastgele değişkenler değildir, bu yüzden Pearson korelasyonlarından bahsetmekten çekinmeyin; Bunun hangi anlamda geçerli olacağından emin değilim. $\alpha$ $\beta$

İkisi, makul olarak genel olarak konuşursak (ancak aşağıya bakın *) - ve diğer şeyleri (örnek boyutu ve hesapladığınız efekt boyutu gibi ) eşit olması anlamında negatif ilişkilidir - , sonra ters yönde (özellikle, tipik durumlarda, hareket edecek bir fonksiyonudur ; belirlemek için yeterli miktarda belirtmek ve bağlı olacaktır - will, en makul koşullarda ve bu ilişki - tür gerçek bir testte kullanmak istiyorum - negatif bağımlı olmak). $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$

Örneğin, bir güç eğrisi düşünün. taşınması güç eğrisini ( ) onunla yukarı veya aşağı doğru iter , bu nedenle eğri üzerindeki bir noktada (eğri ile 1 arasındaki mesafe) arttıkça azalır . İşte iki kuyruklu bir test örneği (t-testi diyelim). $\alpha$ $1-\beta$ $\beta$ $\alpha$

resim açıklamasını buraya girin

Tek kuyruklu durum benzerdir, ancak yukarıdaki resmin sağ yarısına odaklanırsınız (resmin sol yarısındaki iki eğri sıfıra doğru iner)

* durum böyle olmak zorunda olmadığı bazı durumlar vardır. Kolmogorov-Smirnov testi ile üniforma (0,1) testi yapmayı düşünün.

Bunun yerine (ya da gerçekten, birim aralığının dışında bir olasılıkla herhangi bir dağılım üzerinde bir üniform olması ihtimalini düşünelim . $(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

(0,1) 'de yer almayan bir değer gözlemlersem, Kolmogorov-Smirnov testi mutlaka boş değeri reddetmez. Ama Kolmogorov-Smirnov gibi ikinci bir test yapabilirim (buna KS * testi diyelim), ancak (0,1) dışında bir değer gözlemlediğimizde, olağan istatistik olsun ya da olmasın boş değeri de reddediyoruz. kritik değere ulaşır.

Daha sonra (0,1) dışında herhangi bir olasılığı olan herhangi bir alternatif için, Tip II hata oranını (sıradan KS testi için olandan) hiç değiştirmeden düşürdük . $\alpha$

$\dagger$ (bu durumda bir KS kullanmak genellikle iyi bir fikir değildir, bu yüzden bunun bir olasılık olduğunu biliyorsanız, alternatifler hakkında dikkatlice düşünmeniz gerekir)

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

3

$X$ $f_0(x)$ $f_1(x)$ $H_0$ $H_1$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$ $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$ $\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$ $H_i$ $X \in \Gamma_i$

\begin{aligned} (1) & P (Type I error) & = \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x \\ (2) & P (Type II error) & = \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x . \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$ edilmiş iki başka karar bölgelerin ve şekilde ve . Şimdi, integral daha büyük bir kümenin üzerinde olduğundan yeni karar kuralı daha büyük bir Tip I hata olasılığına sahiptir. Ancak

Γ_{0}^{'}

$\Gamma_0^\prime$

Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1^\prime$

Γ_{1} \subset Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$

Γ_{0}^{'} \subset Γ_{0}

$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$

\int_{Γ_{1}^{'}} f_{0} (x) d x \geq \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x

$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$

\int_{Γ_{0}^{'}} f_{1} (x) d x \leq \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x

$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$ çünkü integral daha küçük bir kümenin üzerindedir ve bu nedenle yeni karar kuralı daha küçük bir Tip II hata olasılığına sahiptir.

— Dilip Sarwate
kaynak

1

ve arasındaki ilişki , o anda düşünmenizi istedikleri etkinlik açısından doğrudur: bir hipotezi kabul etmek veya reddetmek için kullandığınız kritik değeri ayarlamak. Yanlış pozitif elde etmeyi zorlaştırırsanız, doğal olarak yanlış negatif elde etmeyi kolaylaştırmanız gerekir. Bu web sitesi ve arasındaki ilişkiyi grafiksel olarak göstermektedir. $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$

İlişki tüm faaliyetler için geçerli değildir. Açık bir örnek olarak, testinizdeki örnek sayısını artırırsanız, ve aynı anda azaltabilirsiniz . İlişki, yalnızca kritik değerleri ayarlarken garanti edilir $\alpha$ $\beta$

— Cort Ammon
kaynak

1

"İlişki sadece" - Görünüşe göre cevabınızın kuyruk ucu kesildi?

— Silverfish