Normal dağılımların üst düzey ürünlerine ilişkin beklentiler

İki normal dağıtılmış değişkenim var $X_1$ ve $X_2$ ortalama sıfır ve kovaryans matrisi ile $\Sigma$ . Değerini hesaplamaya çalışmakla ilgileniyorum $E[X_1^2 X_2^2]$ girişleri açısından $\Sigma$ .

Almak için toplam olasılık yasasını kullandım $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$ ama iç beklentinin neye indirdiğinden emin değilim. Burada başka bir yöntem var mı?

Teşekkürler.

Düzenleme: Değişkenler normalde çok değişkenli olarak dağıtılır.

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
kaynak

Yapmak

X_{1}

$X_1$ ve

X_{2}

$X_2$ aynı zamanda iki değişkenli normal dağılımın keyfini çıkarın ? (Sadece söylüyorum

X_{1}

$X_1$ ve

X_{2}

$X_2$ kovaryans matrisi ile normaldir

Σ

$\Sigma$ eklem dağılımının iki değişkenli normal olduğu sonucuna varmak için yeterli değildir).

— Dilip Sarwate

Aklımdaki belirli bir uygulama için,

X_{1}

$X_1$ ve

X_{2}

$X_2$ Çok değişkenli merkezi limit teoremi ile iki değişkenli normal dağılımınız vardır. Orijinal yazımda bundan bahsetmeyi unuttum.

— AGK

@AGK yayınınızı netleştirmek istiyorsanız, değişiklik yapmanızı sağlayan bir "düzenle" düğmesi vardır. Bu, sorunun altındaki yorumlarda önemli bilgilere bakmak zorunda olmayan gelecekteki okuyucular için daha iyidir.

— Silverfish

Beklenti, kare ölçek faktörlerinin çarpımı ile açıkça orantılıdır. $\sigma_{11}\sigma_{22}$ . Orantılılık sabiti, değişkenlerin standartlaştırılmasıyla elde edilir, bu da $\Sigma$ korelasyon matrisine korelasyon ile $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$ .

İki değişkenli normallik varsayarsak, https://stats.stackexchange.com/a/71303 adresindeki analize göre değişkenleri

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

nerede $(X,Y)$ standart (ilişkisiz) iki değişkenli Normal dağılıma sahiptir ve yalnızca hesaplamaya ihtiyacımız vardır

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

sabitin kesin değeri $c$ önemli değil. ( $Y$ gerileme üzerine artık mı $X_2$ karşısında $X_1$ .) Standart normal dağılım için tek değişkenli beklentilerin kullanılması

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

ve bunu not et $X$ ve $Y$ olan , bağımsız verimler

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

Bunu ile çarpma $\sigma_{11}\sigma_{22}$ verir

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

Aynı yöntem, herhangi bir polinomun $(X_1,X_2)$ , çünkü bu bir polinom haline gelir $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ ve genişlediğinde, bağımsız normal olarak dağıtılan değişkenlerde bir polinom olduğu $X$ ve $Y$ . itibaren

E (X^{2 k}) = E (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

integral için $k\ge 0$ (tüm tuhaf anlar simetri ile sıfıra eşittir) türetebiliriz

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} \sum_{i = 0}^{q} ρ^{2 i} (1 - ρ^{2})^{q - i} \frac{(2 p + 2 i)!}{(2 i)! (p + i)! (q - i)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(monomiyallerin diğer tüm beklentileri sıfıra eşittir). Bu hipergeometrik bir işlevle orantılıdır (neredeyse tanım gereği: ilgili manipülasyonlar derin veya öğretici değildir),

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

Hipergeometrik fonksiyon süreleri $\left(1-\rho ^2\right)^q$ sıfır olmayanlar için çarpımsal bir düzeltme olarak görülür $\rho$ .

— whuber
kaynak

Detaylı cevap için teşekkürler! Ayrıca diğer polinomlarla ilgili soruları da düşünüyorum, bu yüzden bu gerçekten yararlı bir çerçeve. Bu daha önce görmediğim çok akıllı bir dönüşüm. Güzel!

— AGK

Araştırmanıza yardımcı olmak için, genel polinomlar için ayrıntıları sağladım. Başlangıçta bu cevabı yazarken, bu dönüşümü Friedman, Pisani ve Purves'in temel istatistik ders kitabından öğrendiğimi anlamak için eğlendim: bunu üniversite birinci sınıf öğrencilerine öğretiyoruz!

— whuber