X / Y Z ile aynı dağılıma sahipse, X'in YZ ile aynı dağılıma sahip olduğu doğru mu?

X, Y ve Z üç bağımsız rasgele değişken olsun. X / Y Z ile aynı dağılıma sahipse, X'in YZ ile aynı dağılıma sahip olduğu doğru mu?

probability ratio

— user2808118
kaynak

Hayır.

X

$X$ ve

Y

$Y$ standart normal ve

Z

$Z$ standart bir Cauchy rastgele değişkeni olduğunu düşünün (her üçü de sorunun öncülüne göre bağımsızdır).

X / Y

$X/Y$ standart bir Cauchy dağılımına (

aynı) sahip olduğu iyi bilinir

Z

$Z$ , ancak

Y Z

$YZ$ standart bir normal dağılımı yoktur (

E [Y Z]

$E[YZ]$ mevcut olmadığından). Bu nedenle , sonucun geçerli olabileceği örnekleri bulma umudunuz için

X, Y, Z

$X, Y, Z$ (bkz. Silverfish'in cevabı) üzerinde ek kısıtlamalara ihtiyacınız vardır .

— Dilip Sarwate

@Dilip Bunu karşı örnek olarak kullanmayı düşündüm, ancak

in neden

E [Y Z]

$E[YZ]$ var olmadığına dair kısa bir açıklama düşünemedim . Düzgün bir argümanınız varsa, bence bir cevap olarak göndermelisiniz. (Muhtemelen söyleyebileceğiniz gibi, cevabımda kasıtlı olarak sıfırlardan ve sonsuzluklardan kaçındım, bu yüzden sonsuz olmayan bir şeyden kaçınmaya çok istekliydim!)

— Silverfish

@Dilip Cauchy olduğu için mevcut değil, bana göre şart karşılanmadı ve ifade hakkında hiçbir şey söylemiyor . Karşılaştırma için: Cauchy ise ve dejenere dağılımına sahipse , olmasa bile var (ve sıfıra eşit) görünür .

Z

$Z$

E [Z]

$E[Z]$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Z

$Z$

Y

$Y$

P (Y = 0) = 1

$P(Y=0)=1$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [Z]

$E[Z]$

— Silverfish

En basit ve belki de en sezgisel, olası karşı örneklerden biri, ve içinde olmama şansı olan herhangi bir dağıtım olmasına izin ( beri) ve ve sabit noktaları herhangi bir olayda tanımında sorunludur ). O zaman , iken sabit değildir .

X = 1

$X=1$

Y

$Y$

{- 1, 0, 1, \pm \infty}

$\{-1,0,1,\pm\infty\}$

\pm 1

$\pm 1$

y \to 1 / y

$y\to 1/y$

0, \infty,

$0,\infty,$

- \infty

$-\infty$

X / Y

$X/Y$

Y Z

$YZ$

X

$X$

— whuber

@Silverfish yalnızca sınırlıysa tanımlanır . Ancak, berivebağımsız rasgele değişkenlerdir. Ancak, sonlu olmadığı ve olduğu için, nin sonlu olmadığı sonucuna varıyoruz ( değeri ile ilgili herhangi bir sorun yoktur ). Sonuç olarak, tanımlanmamıştır (veya yoktur), oysa kesinlikle vardır ve değerine sahiptir .

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

E [| Y Z |] = E [| Y | \cdot | Z |] = E [| Y |] E [| Z |]

$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$

| Y |

$|Y|$

| Z |

$|Z|$

E [| Z |]

$E[|Z|]$

E [| Y |] > 0

$E[|Y|]>0$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

0 \times \infty

$0\times\infty$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [X]

$E[X]$

0

$0$

— Dilip Sarwate

Olabilir. Örneğin, , ve bağımsız Rademacher değişkenleriyse, yani eşit olasılıkla 1 veya -1 olabilirler. Bu durumda de Rademacher'dir, bu nedenle aynı dağılıma sahipken, Rademacher'dir ve bu nedenle aynı dağılıma sahiptir . $X$ $Y$ $Z$ $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

Ama genel olarak olmayacak. Bu yüzden, uzun araçlar mevcut olarak, gerekli (ancak yetecek kadar) koşulları aynı dağılımına sahip ve için aynı dağılımına sahip , şöyle olacaktır: $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

E (Z) = E (X Y^{- 1}) = E (X) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$

E (X) = E (Y Z) = E (Y) E (Z)

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$

İkinci eşitliklerin ardından bağımsızlık gelir. Değiştirme:

E (Z) = E (Y) E (Z) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$

Eğer sonra veya eş anlamlı olarak sürece , $\mathbb{E}(Z) \neq 0$ $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$ $\mathbb{E}(Y) \neq 0$

E (Y^{- 1}) = \frac{1}{E (Y)}

$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$

Bu genel olarak doğru değil. Örneğin, eşit değerde veya değerini alan çevrilmiş bir Bernouilli değişkeni olsun , yani . Sonra eşit olasılıkla veya değerini alır , bu nedenle . (Okuyucunun hayal gücüne bırakıyorum, tercüme edilmemiş bir efekt kullanmak ne kadar dramatik olurdu? $Y$ $1$ $2$ $\mathbb{E}(Y)=1.5$ $Y^{-1}$ $1$ $0.5$ $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$ Bunun yerine Bernouilli değişkeni ya da biri sadece hafifçe tercüme edildi, bu yüzden yarıya düşme olasılığı 0'a çok yakın. Rademacher örneğinde burada bir sorun olmadığını unutmayın, çünkü üç beklentinin tümü sıfırdır, ayrıca bu koşulun yeterli olmadığını unutmayın.)

Daha açık bir karşı örnek oluşturarak bu nasıl başarısız olduğunu keşfedebiliriz . İşleri basit tutmak için ölçeklendirilmiş bir Bernouilli olduğunu ve eşit olasılıkla veya değerlerini aldığını varsayalım . Daha sonra ya da bir , , veya eşit olasılıkla. Bu açık olduğunu , ve . , aynı dağılımdan bağımsız bir değişken olsun . dağılımı nedir ? Dağılımı ile aynı mı? $Y$ $X$ $0$ $2$ $X/Y$ $0/1$ $0/2$ $2/1$ $2/2$ $P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$ $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$ $Z$ $YZ$ $X$ ? Olamayacağını görmek için tam olasılık dağılımını çözmek zorunda bile değiliz; sadece sıfır veya iki olabileceğini hatırlamak yeterli olurken, birinden biriyle çarparak elde edebileceğiniz herhangi bir değeri alabilir . $X$ $YZ$ $\{1,2\}$ $\{0,1,2\}$

Bu hikaye için bir ahlak istiyorsanız, ölçeklendirilmiş ve çevrilmiş Bernouilli değişkenleriyle (Rademacher değişkenlerini içerir) oynamayı deneyin. Örnekler ve karşı örnekler oluşturmak için basit bir yol olabilirler. Desteklerde daha az değere sahip olmaya yardımcı olur, böylece değişkenlerin çeşitli fonksiyonlarının dağılımları elle kolayca çözülebilir.

Daha da uç nokta, desteklerinde sadece tek bir değeri olan dejenere değişkenleri düşünebiliriz. Eğer ve ile (dejenere olan ) daha sonra dağılımı öyle olacak ve değerini eşleşir . Benim Rademacher Örneğin gibi, bu senin şartlarını gösteren bir durum olabilir memnun. Bunun yerine, @whuber'ın yorumlarda belirttiği gibi, ile dejenere olmasına izin veririz , ancak değişmesine izin veririz , daha da basit bir karşı örnek oluşturmak çok kolaydır. Eğer iki sonlu örgü, sıfırdan farklı değerleri alabilir - ve $X$ $Y$ $Y\neq 0$ $Z=X/Y$ $YZ$ $Z$ $X$ $P(X=1)$ $Y$ $Y$ $a$ $b$ , diyelim ki - pozitif olasılıkla ve dolayısıyla , ve . Şimdi nedenle sahiptir aynı dağılımını takip edemez, bu yüzden onun destek . Bu, desteklerin orijinal karşı örneğimle eşleşemediğine ilişkin iddiamla benzer, ancak daha basit. $X/Y$ $Z$ $a^{-1}$ $b^{-1}$ $YZ$ $ab^{-1} \neq 1$ $X$

— Gümüş Balık
kaynak

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$ Varsayalım . Daha sonra, üzerinde dışbükey bir işlev olduğundan , Jensen eşitsizliği bize koşulunun yalnızca dejenere olduğunda geçerli olduğunu söyler . ise aynı geçerlidir , bu durumda 1 / x içbükeydir. Dolayısıyla, sabit bir işarete sahipse ancak dejenere değilse, gerekli koşul sağlanamaz.

Pr (Y > 0) = 1

$\Pr(Y > 0) = 1$

1 / x

$1/x$

(0, \infty)

$(0, \infty)$

E Y = E \frac{1}{Y}

$\E Y = \E \frac{1}{Y}$

Y

$Y$

Pr (Y < 0) = 1

$\Pr(Y < 0) = 1$

Y

$Y$

— Dougal

@Dougal Bundan bahsettiğiniz için teşekkürler. Yazarken, dahil etmeyi düşündüm, ancak işaretlerin vb. Tartışmasının akışı kıracağını hissettim. Sadece "Jensen eşitsizliğini görün" demeyi ve Wikipedia ya da benzer bir bağlantı eklemeyi düşündüm, ama sonradan kaçınmaya çalıştığım dışbükeylik koşullarından önce gelmediğim için bunun iyi bir fikir olmadığına karar verdim. Bunun yerine, genel olarak bir RV'nin doğrusal olmayan fonksiyonlarının beklentisinin genel olarak tartışıldığı, doğal olarak Jensen'a meraklı bir okuyucuyu yönlendireceği bir yerde (belki bir CV ipliği) olup olmadığını görmek istedim, ama hiçbir şey tespit etmedim Henüz beğendim.

— Silverfish

@Dougal Bu, basit basit karşı örnekler arasında biraz çatışma var - çok kolay hesaplanan bir şey, bu yüzden yanlış anlama altında çalışan biri hemen imkansız veya yanlış olduğunu görebilir - ve gerçekten yardımcı olan daha kapsamlı, genel bir tedavi bir şeyin gerçekte hangi koşullar altında olabileceğini gösterin (ancak bazı okuyucuların takip etmesi çok zor olabilir ve bu nedenle onlara daha az ikna edici olabilir). üzerindeki RV, yeni başlayanlara bile neden kadar iyi çalışmadığını gösterir, ancak Jensen neden hakkında çok daha fazlasını söylüyor!

{1, 2}

$\{1,2\}$

E (1 / Y)

$E(1/Y)$

E (a Y + b)

$E(aY+b)$

— Silverfish

Evet, iyi bir nokta, ancak bu (görünüşte doğal) ilişkinin ne zaman geçerli olabileceği konusunda merak ediyorum, ki bu oldukça sınırlı görünüyor. Yukarıdaki yorumumda, koşulu yanlış yazdığımı unutmayın: tabii ki .

\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}

$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$

— Dougal

@Dougal Bence dejenere RV'lerin ötesinde bu tür ilişkiler ilk ortaya çıktıkları gibi "doğal" değildir. Düşünün ile aynı dağılıma sahip ve aynı dağılıma sahip ve her üç Yine genel olarak tutmadığı ... bağımsızdır.

Z

$Z$

X + Y

$X+Y$

Y

$Y$

Z - X

$Z-X$

— Silverfish