Rasgele bir değişkenin uzun dikdörtgen bir matrisle doğrusal dönüşümü

Diyelim ki , olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir dağılımdan alınan rastgele bir . Biz doğrusal bir tam-sıraya göre dönüştürmek ise matris almak , daha sonra yoğunluğu verilir $\vec{X} \in \mathbb{R}^n$ $f_\vec{X}(\vec{x})$ $n \times n$ $A$ $\vec{Y} = A\vec{X}$ $\vec{Y}$

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{| det A |} f_{\vec{X}} (A^{- 1} \vec{y}) .

$f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}).$

Şimdi dönüştürmek ki $\vec{X}$ yerine göre $m \times n$ matris $B$ ile, $m > n$ veren $\vec{Z} = B\vec{X}$ . Açıkça $Z \in \mathbb{R}^m$ , ancak $n$ boyutlu bir altuzay "yaşıyor" $G \subset \mathbb{R}^m$ . olduğunu bildiğimiz için nin koşullu yoğunluğu nedir ? $\vec{Z}$ $G$

İlk içgüdüm sahte tersini kullanmaktı $B$ . Eğer $B = U S V^T$ tekil değer ayrışımı olduğunu $B$ , daha sonra $B^+ = V S^+ U^T$ yalancı ters olduğu $S^+$ diyagonal matris sıfır olmayan girişleri çevrilmesi ile oluşturulur $S$ . Bunun

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{1}{| \overset{+}{det} S |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}),

$f_\vec{Z}(\vec{z}) = \frac{1}{\left|\det^+ S\right|} f_\vec{X}(B^+ \vec{z}),$ burada

\overset{+}{det} S

$\det^+ S$ sıfır olmayan tekil değerlerin ürünü anlamına gelir.

Bu akıl yürütme, burada verilen ve burada ve bu CrossValidated mesajında belirtilen tek bir normalin (değişkenin uygun alt alanda yaşadığı bilgisine bağlı olarak) yoğunluğu ile uyumludur .

Ama bu doğru değil! Normalleştirme sabiti kapalı. Aşağıdaki durum dikkate alınarak bir (önemsiz) karşı örnek verilir: $X \sim \mathcal{N(0, 1)}$ ,

\vec{Y} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) X = (\begin{matrix} X \\ X \end{matrix}) .

$\vec{Y} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}X \\ X\end{pmatrix}.$ Burada

matrisi

B

$B$ yukarıdakiler sadece vektörlerdir. Yalancı tersi

B^{+} = (\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 \end{matrix})

$B^+ = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2\end{pmatrix}$ ve

\overset{+}{det} B = \sqrt{2}

$\det^+ B = \sqrt{2}$ . Yukarıdaki mantık

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \sqrt{2}} \exp (- \frac{1}{2} {\vec{y}}^{T} (B^{+})^{T} B^{+} \vec{y}),

$f_\vec{Y}(\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^T (B^+)^T B^+ \vec{y}\right),$ ancak bu aslında (

satırında

y = x

$y = x$ )

bütünleşir

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Bu durumda,

girişlerinden birini bırakabileceğinizi

\vec{Y}

$\vec{Y}$ anlıyorum, ancak

B

$B$ çok daha büyük olduğunda , bırakılacak giriş kümesini tanımlamak sinir bozucu. Sahte ters akıl yürütme neden çalışmıyor? Bir dizi rasgele değişkenin "uzun" bir matrisle doğrusal dönüşümünün yoğunluk fonksiyonu için genel bir formül var mı? Herhangi bir referans da büyük takdir edilecektir.

— Dan
kaynak

Gelecekte bununla karşılaşabilecek olanlar için ... hatanın kaynağı aslında entegrasyondan kaynaklanmaktadır. Yukarıdaki örnekte, entegrasyon çizgisi üzerinden gerçekleşir . Bu nedenle, integrali alırken çizgiyi "parametrelendirmek" ve parametreleştirmenin Jacobian'ını düşünmek gerekir, çünkü eksenindeki her birim adımı satırdaki uzunluk adımlarına karşılık gelir . Örtük olarak kullandığım parametreleştirme , diğer bir deyişle nin her iki özdeş girişini de değere göre belirterek verildi . Bu Jacobi sahip düzgün ile iptal, $y = x$ $x$ $\sqrt{2}$ $x \mapsto (x, x)$ $\vec{y}$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ (tam olarak aynı Jacobian'dan).

Örnek yapay olarak basitti - genel bir dönüşüm için, problem bağlamında doğal olan çıktı için başka bir parametrelendirme olabilir. Parametrizasyonu aynı alt uzay kapsamalıdır yana olarak ve bu alt uzay bir hiper olup, parametreleştirme kendisi muhtemelen doğrusal olmaktır. Parametrelendirme nin matris temsili çağrıldığında , gereksinim basitçe aynı sütun alanına sahip olmasıdır (aynı hiper düzlemi kapsar). Sonra nihai yoğunluk $B$ $G$ $B$ $m \times n$ $L$ $B$

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{| \overset{+}{det} L |}{| \overset{+}{det} B |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}) .

$f_{\vec{Z}}(\vec{z}) = \frac{\left|\det^+ L\right|}{\left|\det^+ B\right|}f_{\vec{X}}(B^+ \vec{z}).$

Genel olarak, bu kurulum biraz garip ve bence yapılacak en doğru şey, doğrusal olarak bağımsız bir satırı kümesi bulmak ve satırların geri kalanını kaldırmak (dönüştürülmüş değişkenin karşılık gelen bileşenleri ile birlikte ) bir kare matris elde etmek için . Sonra sorun tam sıralı durumuna düşer ( tam sütun sıralamasına sahip olduğu varsayılarak ). $B$ $\vec{z}$ $\hat B$ $n \times n$ $B$

— Dan
kaynak