Sürekli değişkenin koşullu olasılığı

Rastgele değişken 0 ve 10 parametreleriyle sürekli bir Düzgün dağılım izlediğini varsayalım (yani ) $U$ $U \sim \rm{U}(0,10)$

Şimdi A'yı = 5 ve B olarak ifade eden ve veya 6'ya eşit olduğu olayını gösterelim. Anladığım kadarıyla, her iki olayın da sıfır olma olasılığı vardır. $U$ $U$ $5$

Şimdi, hesaplamayı düşünürsek, koşullu yasasını kullanamayız , çünkü sıfıra eşit. Ancak, sezgim bana olduğunu söylüyor . $P(A|B)$ $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ $P(B)$ $P(A|B) = 1/2$

conditional-probability continuous-data uniform

— Çaylak
kaynak

Eğer sezgi size ne söylerdim vardı düzgün olmayan yoğunluk ?

U

$U$

0.02 u, u \in (0, 10)

$0.02u, u \in (0,10)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Sezgim, cevabın 0,5'ten biraz daha düşük bir sayı olduğunu söylerdi

— Noob

Yanıtlar:

"Olasılığı 0 olan izole bir hipotez açısından koşullu bir olasılık kavramı kabul edilemez." A. Kolmogorov

Sürekli rasgele değişkenler için, ve , koşullu dağılımlar, orijinal olasılık ölçüsünü kurtardıkları özellik tarafından tanımlanır, yani tüm ölçülebilir kümeler için , , Bu, koşullu yoğunluğun keyfi olarak sıfır ölçü kümelerinde tanımlandığı ya da başka bir deyişle, koşullu yoğunluğunun hemen hemen her yerde tanımlandığı anlamına gelir . kümesi Lebesgue ölçüsüne göre sıfır ölçüldüğünden, her ikisini de $X$ $Y$ $A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$ $B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$

P (X \in A, Y \in B) = \int_{B} d P_{Y} (y) \int_{B} d P_{X | Y} (x | y)

$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$

p_{X | Y} (x | y)

$p_{X|Y}(x|y)$

{5, 6}

$\{5,6\}$

p (5)

$p(5)$ ve kesinlikle keyfi biçimde ve bu nedenle olasılığı herhangi bir değer alabilir.

p (6)

$p(6)$

P (U = 5 | U \in {5, 6})

$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$

Bu , iki değişkenli normal durumda olduğu gibi oranına göre koşullu bir yoğunluk tanımlayamayacağınız anlamına gelmez ancak sadece yoğunluğun hemen hemen her yerde tanımlandığı anlamına gelir her ikisi için de ve .

f (y | x) = f (x, y) / f (x)

$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$

x

$x$

y

$y$

Diyerek şöyle devam etti: "Pek çok nafile olmayan argüman - aksi takdirde yetkin olasılıklılar arasında - bu sonuçların hangisinin 'doğru' olduğu konusunda öfkelendi." ET Jaynes

Yukarıdaki cevaptaki sınırlayıcı argümanın ( sıfıra gittiğinde) doğal ve sezgisel bir cevap verdiği, Borel'in paradoksuyla ilişkilidir . Lisans sınıflarımda kullandığım aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, sınırdaki parametrelerin seçimi önemlidir. $\epsilon$

değişkenli normal verildiğinde koşullu yoğunluğu nedir ?

X, Y \overset{i.i.d.}{\sim} N (0, 1)

$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$ $X$ $X=Y$

Biri derz yoğunluğundan başlarsa , "sezgisel" cevap [ orantılıdır . Bu, yoğunluğuna sahip olduğu değişkeni dikkate alınarak elde edilebilir. . Bundan dolayı ve Ancak , bunun yerine değişken marjinal yoğunluğu Cauchy yoğunluğudur $\varphi(x)\varphi(y)$ $\varphi(x)^2$

(x, t) = (x, y - x) \sim φ (x) φ (t + x)

$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$

T = Y - X

$T=Y-X$

φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}

$\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$

f (x | t) = \frac{φ (x) φ (t + x)}{φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}}

$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$

f (x | t = 0) = \frac{φ (x) φ (x)}{φ (0 / \sqrt{2}) / \sqrt{2}} = φ (x)^{2} \sqrt{2}

$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$

(x, r) = (x, y / x) \sim φ (x) φ (r x) | x |

$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$

R = Y / X

$R=Y/X$

ψ (r) = 1 / π {1 + r^{2}}

$\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$ ve koşullu yoğunluğu verilen olan Bu nedenle, Ve burada "paradoks" yatıyor: ve olayları aynıdır , ancak üzerinde farklı koşullu yoğunluklara yol açarlar .

X

$X$

R

$R$

f (x | r) = φ (x) φ (r x) | x | \times π {1 + r^{2}}

$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$

f (x | r = 1) = π φ (x)^{2} | x | / 2 .

$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$

R = 1

$R=1$

T = 0

$T=0$

X = Y

$X=Y$

X

$X$

— Xi'an
kaynak

Bu sadece yanlış. Eğer olasılık teorisinde titiz kursuna Eğer ölçü sıfır olaylarıyla ilgili bu şartlandırma göreceksiniz olan olası ve pratik. Bitivari bir Gauss düşünün. Herkes, sıfır değişkenini alarak ilk değişkeni koşullandırabileceğinizi bilir, ancak bu olayın sıfır olasılığı vardır. Wikipedia'ya bakınız. en.wikipedia.org/wiki/…

— Yair Daon

İşte tartışmalı bir cevap:

Xi'an, sıfır olasılıklı olayları koşullandıramayacağınız konusunda haklı. Ancak Yair, bir sınırlama sürecine karar verdiğinizde bir olasılığı değerlendirebileceğiniz konusunda da haklıdır . Sorun, istenen koşula ulaşan birçok sınırlayıcı süreç olmasıdır.

Kayıtsızlık ilkesinin bazen bu tür seçenekleri çözebileceğini düşünüyorum. Sonucun, keyfi bir etiket alışverişinden etkilenmemesi gerektiğini savunuyor. sizin durumunuzda, örneğin, aralık üzerinde eşit olacak ve 5 ve 6 noktaları değiştirilecek şekilde çevrilir. Çevrilen bir cevap değiştirir için . Dolayısıyla, biri için diğerinden farklı bir sınırlama işlemi seçtiyseniz, keyfi bir etiket değişikliği yaptınız (bu durumda, negatif sonsuzluk için pozitif sonsuzluğu değiştirmek) farklı bir sonuç elde ettiniz. Bu kayıtsızlık ilkesine göre gerçekleşmemelidir. Bu nedenle, cevap tahmin ettiğiniz gibi 0,5'tir. $(1, 11)$ $p$ $1-p$

Birçok istatistikçinin kayıtsızlık ilkesini kabul etmediğini unutmayın. Sevdim çünkü sezgilerimi yansıtıyor. Her zaman nasıl uygulanacağından emin olmasam da, belki 50 yıl içinde daha yaygın olacak?

— Neil G
kaynak

Düşünceli bir gönderi için teşekkürler. Birincisi, "kayıtsızlık ilkesinin" her zaman ana akım olacağından şüpheliyim, çünkü uygulanabilir değildir. Temel değerler yeniden ifade edildiğinde argümanınız parçalanır. Üzerinde düzgün dağılımı ve böylece diyelim ki, bir Cauchy dağılımı, hale gelebilir haline gelebilir ve olmak . "Kayıtsızlık ilkeniz" artık tamamen farklı bir cevap üretiyor. (Bu örneği çözmek için olasılık dönüşümlerini kullandım.)

[0, 10]

$[0,10]$

5

$5$

0

$0$

6

$6$

\sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}

$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$

— whuber

@whuber: Modunu çevirmedığınız sürece, çevirme argümanı Cauchy dağılımı için işe yaramaz.

— Neil G

Elbette öyle: Bir sürekli dağılımı iki değeri değiştiren bir diğerine dönüştürmenin birçok yolu vardır. Aslında, "saygısızlık" orijinal dağılımı bile koruyamadı. (Desteğini tamamen değiştirdi.) Görünüşe göre yaptığınız tek şey bir dağıtımı diğeriyle değiştirmek. Burada işleyen bir ilke yok gibi görünüyor.

— whuber

@whuber: Bu sayede diğeriyle bir dağılım yerini 5 ve 6 etrafında üniform bölgeler değişmemiş - Ben denemeden uzaklaştırmaya bırakmak olduğunu düşünüyorum aynı şekilde orijinal çevrelerinde değişmeden yoğunlukları içinde Bertrand paradoksu .

— Neil G

@whuber: Haklısın. Potato'nun sorularımdan birine verdiği cevabı gerçekten çok beğendim . Şahsen ben teori ve sezgi arasında bir tutarsızlık varsa, yeni, daha eksiksiz teoriler aramamız gerektiğini düşünüyorum. Belki de "kayıtsızlık ilkesi" tam olarak doğru değildir ya da genellikle işe yaramaz, ancak sezgisel bir anlayışa sahip olduğumuz soruları cevaplamak için olasılık teorisine karşı doğal bir arzum var. Belki Lebesgue, integralini oluştururken Riemann entegrasyonu hakkında aynı türden bir öfkeye sahipti?

— Neil G

Evet yapabiliriz! Sen edebilirsiniz sıfır olasılık olaylarıyla ilgili şart! Matematik karmaşıklaşıyor - bazı ölçü teorisine ihtiyacınız var ama bunu yapabilirsiniz. Bunun gibi basit durumlarda, ve tanımlayarak sezgi ararım. . Şimdi her şeyi daha önce yaptığınız gibi yapın ve . $A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$ $B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$ $\epsilon \to 0$

Yukarıdaki yöntemin sezgi için kullanıldığını tekrar vurgulayayım. Sıfır olasılıklı olaylarda koşullandırma, çok fazla düşünülmeden çok sık yapılır. Düşünebileceğim en iyi örnek iki değişkenli bir gauss ise. Sıklıkla sıfır ölçüsü olan verilen yoğunluğu dikkate alınır . Bu teoriye dayanaklıdır, fakat hiç de önemsiz değildir. @ Xi'an'ın Kolmogorov'un sözleriyle ilgili olarak - Sadece Varadhan'dan alıntı yapabilirim: "Hedeflerimizden biri, " olduğunda mantıklı bir tanım bulmaktır (Olasılık Teorisi, Courant ders notları, sayfa 74) . $(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $X_1$ $X_2 = 0$ $P(\xi = a) = 0$

Yani, evet, sıfır ölçülü olayların koşullandırılmasına anlam verebilirsiniz.

— Yair Daon
kaynak

Varsayalım : olduğu, her ikisi de ve mümkündür. ve olduğunda durumla nasıl başa ? Misiniz ( "sezgisel" doğru cevap olduğu, çünkü tüm sayılar aynı yoğunluğa sahip) ya da belki (ki basit bir değişiklik için içinde senin formül verir) veya ?

U \sim U [0, 10]

$U\sim \text{U}[0,10]$

0

$0$

10

$10$

A = {0}

$A=\{0\}$

B = {0, 6}

$B=\{0,6\}$

P (A | B) = 1 / 2

$P(A|B)=1/2$

[0, 10]

$[0,10]$

1 / 3

$1/3$

5

$5$

0

$0$

0

$0$

— whuber

@YairDaon Cevabınız için teşekkür ederim! İyi anladıysam, aşağıdakileri yapmak istersiniz: küçük için:

ε

$\varepsilon$

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u}{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u + \int_{6 - \frac{ε}{4}}^{6 + \frac{ε}{4}} f (u) d u} = \frac{\frac{ε}{2}}{\frac{ε}{2} + \frac{ε}{2}} = 0.5

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }}{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} + \int\limits_{6 - \frac{\varepsilon }{4}}^{6 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }} = \frac{{\frac{\varepsilon }{2}}}{{\frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2}}} = 0.5$

— Noob

@YairDaon Ama sanırım başlangıçta A'yı ( ve B önceki ile aynı). Böyle bir durumda sonuç

[5 - \frac{ε}{8}, 5 + \frac{ε}{8}]

$\left[ {5 - \frac{\varepsilon }{8},5 + \frac{\varepsilon }{8}} \right]$

\frac{1}{8}

${\frac{1}{8}}$

— Noob

Benzersiz bir cevap olmadığını göstererek sezgi için mükemmeldir: Kolmogorov'un @ Xi'an tarafından alıntılanan ifadesinin temeli budur. Bir şeyleri düşündüğünüz gibi ortaya çıkarmak için prosedürünüzü değiştirmek zorunda olmanız gerçeği, sizi bu yaklaşımla ilgili sorunlara karşı uyarmalıdır.

— whuber

Yoğunluğu verilen yoğunluğuna aksine, iyi tanımlanmış bir verilen .

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} = 0

$X_1=0$

— Xi'an