Jeffreys'in aksine, değişmez olmayan bir posterior yol açar.

İki hafta önce burada verdiğim bir soruya "cevap" yazıyorum: Jeffreys neden daha önce yararlı? Bu gerçekten bir soruydu (ve ben de o zaman yorum gönderme hakkım yoktu), bu yüzden umarım bunu yapmak için sorun yok:

Yukarıdaki bağlantıda, Jeffreys'in daha önce ilginç olan özelliğinin, modeli yeniden parametrelendirirken ortaya çıkan posterior dağılımın, dönüşümün getirdiği kısıtlamalara uyan posterior olasılıklar verdiği tartışılmaktadır. Orada anlatıldığı gibi başarı olasılığı taşırken ki, $\theta$ oran Beta-Bernoulli örnekte $\psi=\theta/(1-\theta)$ , bu durumda olması gereken bir arka tatmin olduğu $P(1/3\leq\theta\leq 2/3\mid X=x)=P(1/2\leq\psi\leq 2\mid X=x)$ .

Öncesinde transforme edilmesi için Jeffreys değişmezliği sayısal bir örnek oluşturmak için istediği $\theta$ oranları için $\psi$ ve daha ilginç bir şekilde, bunun, diğer önsel (örneğin, Haldane, tekdüze veya isteğe bağlı olanlar) yoksundur.

Şimdi, başarı olasılığı için posterior Beta ise (sadece Jeffreys için değil, önceki herhangi bir Beta için), olasılıkların posterioru aynı parametrelerle ikinci tür bir Beta dağılımını takip eder (Wikipedia'ya bakın) . Aşağıdaki sayısal örnekte vurgulanmıştır Sonra, çok değişmezliği olduğunu (en azından benim için) şaşırtıcı değildir öncesinde Beta herhangi bir seçim için (oynayabilir alpha0_Uve beta0_U), sadece Jeffreys, krş program çıktısı.

library(GB2) 
# has the Beta density of the 2nd kind, the distribution of theta/(1-theta) if theta~Beta(alpha,beta)

theta_1 = 2/3 # a numerical example as in the above post
theta_2 = 1/3

odds_1 = theta_1/(1-theta_1) # the corresponding odds
odds_2 = theta_2/(1-theta_2)

n = 10 # some data
k = 4

alpha0_J = 1/2 # Jeffreys prior for the Beta-Bernoulli case
beta0_J = 1/2
alpha1_J = alpha0_J + k # the corresponding parameters of the posterior
beta1_J = beta0_J + n - k

alpha0_U = 0 # some other prior
beta0_U = 0
alpha1_U = alpha0_U + k # resulting posterior parameters for the other prior
beta1_U = beta0_U + n - k

# posterior probability that theta is between theta_1 and theta_2:
pbeta(theta_1,alpha1_J,beta1_J) - pbeta(theta_2,alpha1_J,beta1_J) 
# the same for the corresponding odds, based on the beta distribution of the second kind
pgb2(odds_1, 1, 1,alpha1_J,beta1_J) - pgb2(odds_2, 1, 1,alpha1_J,beta1_J) 

# same for the other prior and resulting posterior
pbeta(theta_1,alpha1_U,beta1_U) - pbeta(theta_2,alpha1_U,beta1_U)
pgb2(odds_1, 1, 1,alpha1_U,beta1_U) - pgb2(odds_2, 1, 1,alpha1_U,beta1_U)

Bu beni şu sorulara getiriyor:

1. Bir hata yapabilir miyim?
2. Hayır ise, eşlenik ailelerde değişmezlik olmaması gibi bir sonuç var mı, ya da bunun gibi bir şey mi? (Hızlı inceleme beni örneğin normal-normal durumda değişmezlik üretemediğimden şüpheleniyor.)
3. Eğer biz hangi bir (tercihen basit) örnek biliyor musunuz yapmak değişmezliği eksikliği olsun?

Hesaplamanız, belirli bir önceden dağıtım olduğunda aşağıdaki iki prosedürü doğruladığımız doğrulanıyor gibi görünüyor$p(\theta)$

1. Arka $p_{\theta \mid D}(\theta \mid D)$
2. Elde etmek üzere başka parametreleriyle içine yukarıda belirtilen posterior Transform $p_{\psi \mid D}(\psi \mid D)$

ve

1. P ψ ( ψ elde etmek için önceki yi diğer parametreleştirmeye dönüştürün$p_\theta(\theta)$$p_\psi(\psi)$
2. Önceki kullanarak arka p ψ ∣ D ( ψ ∣ D ) değerlerini hesaplayın$p_\psi(\psi)$$p_{\psi \mid D}(\psi \mid D)$

Aynı arka yol . Bu gerçekten her zaman ortaya çıkar (uyarı; sürece dönüşüm üzerinde bir dağıtım şekildedir olarak ψ üzerinde dağılım ile tespit edilebilmektedir İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ).$\psi$$\psi$$\theta$

Ancak, söz konusu değişmezliğin konusu bu değildir. Bunun yerine, soru, Öncekine Karar Vermek için belirli bir Yöntemimiz olduğunda, aşağıdaki iki prosedürün olup olmadığıdır:

1. $p_\theta(\theta)$
2. Bu dağıtımı dönüştür$p_\psi(\psi)$

ve

1. $p_\psi(\psi)$

$\psi$

$\theta$$[0,1]$ için üniforma değil $\psi$ bitmiş $[0,\infty)$.

Bunun yerine, Önceli Karar Verme Yöntemi 'parametre için Jeffrey'inkini kullan' ise, bunun için kullanmanız önemli değildir. $\theta$ ve $\psi$-parametrizasyon veya $\psi$direkt olarak. Bu iddia edilen değişmezliktir.

It looks like you're verifying the likelihoods induced by the data are unaffected by parametrization, which has nothing to do with the prior.

Öncelikleri seçmenin yolu, örneğin "önceden tek tip olanı seçmek" ise, o zaman bir parametreleştirme altında tek tip olan (örneğin Beta, yani Beta (1,1)) diğeri altında tekdüze olmayan, örneğin BetaPrime (1,1) ) (çarpıktır) - böyle bir şey varsa BetaPrime (1, -1) eşittir.

The Jeffreys prior is the only "way to choose priors" that is invariant under reparametrization. So it is less assumptive than any other way of choosing priors.