En fazla iki ilişkili normal değişkenin dağılımı

18

Diyelim ki korelasyon katsayısı ile birlikte normal olan iki standart normal rastgele değişken ve var . $X_1$ $X_2$ $r$

nin dağıtım işlevi nedir ? $\max(X_1, X_2)$

correlation normal-distribution extreme-value

— kan davası
kaynak

İlgili: stats.stackexchange.com/questions/173064/… .

— StubbornAtom

22

Göre Nadarajah ve Kotz 2008 , İki Gauss Rastgele Değişkenler Max / Min Tam Dağıtım ait PDF gibi görünmektedir $X = \max(X_1, X_2)$

f (x) = 2 \cdot ϕ (x) \cdot Φ (\frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^{2}}} x),

$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$

Burada ve standart normal dağılımın CDF'sidir. $\phi$ $\Phi$

$\hskip2in$ resim açıklamasını buraya girin

— Lucas
kaynak

(hiç korelasyon yoksa) bu neye benziyor ? Görselleştirmekte sorun yaşıyorum.

r = 0

$r = 0$

— Mitch

3

Dağıtımı görselleştiren bir figür ekledim. Sağa doğru eğilmiş sıkılmış bir Gaussian gibi görünüyor.

— Lucas

22

Let $f_\rho$ için iki değişkenli Normal PDF olabilir standart marjinaller ve korelasyon ile . Maksimumun CDF'si, tanım gereği, $(X,Y)$ $\rho$

Pr (max (X, Y) \leq z) = Pr (X \leq z, Y \leq z) = \int_{- \infty}^{z} \int_{- \infty}^{z} f_{ρ} (x, y) d y d x .

$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$

İki değişkenli Normal PDF, diyagonal etrafında simetriktir (yansıma yoluyla). Böylece, artan için orijinal yarı sonsuz kareye denk olasılık iki şerit ekler: sonsuz küçük kalınlığında üst biridir $z$ $z+dz$ $(-\infty, z]\times (z, z+dz]$ yandan da yansıyan muadili sağ şerit, . $(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

şekil

Sağ taraftaki şerit olasılık yoğunluk yoğunluğu de kaç kez toplam şartlı olasılık , şerit içinde . koşullu dağılımı her zaman Normal'dir, bu nedenle bu toplam koşullu olasılığı bulmak için sadece ortalamaya ve varyansa ihtiyacımız var. Koşullu ortalama de regresyon öngörü $X$ $z$ $Y$ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$ $Y$ $Y$ $X$ $\rho X$ ve koşullu varyans "açıklanamayan" varyans . $\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Şimdi koşullu ortalama ve varyans biliyoruz, koşullu CDF verilen standartlaşarak elde edilebilir $Y$ $X$ $Y$ standart Normal CDF ve uygulayarak : $\Phi$

Pr (Y \leq y | X) = Φ (\frac{y - ρ X}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) .

$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$

Bu değerlendirme ve ve yoğunluğu ile çarpılması de (standart normal PDF $y=z$ $X=z$ $X$ $z$ $\phi$ ) ikinci olasılık yoğunluk verir (sağ), şerit

ϕ (z) Φ (\frac{z - ρ z}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) = ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$

Bunu iki katına çıkarmak, eşit olası üst şeridi oluşturur ve PDF'ye maksimum

\frac{d}{d z} Pr (max (X, Y) \leq z) = 2 ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$

tekrarlama

Kökenlerini belirten faktörleri renklendirdim: İki simetrik şerit için ; sonsuz şerit genişlikleri için ; ve şerit uzunlukları için . İkincisi, argümanı, koşullu yalnızca standartlaştırılmış bir sürümüdür . $\color{blue}2$ $\color{black}{\phi(z)}$ $\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$ $\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$ $Y=z$ $X=z$

— whuber
kaynak

Bu, verilen korelasyon matrisi ile ikiden fazla standart normal değişkene genişletilebilir mi?

— A. Donda

1

@ A.Donda Evet - ancak ifade daha karmaşık hale geliyor. Her yeni boyutla bir kez daha bütünleşme ihtiyacı geliyor.

— whuber