Diyelim ki korelasyon katsayısı ile birlikte normal olan iki standart normal rastgele değişken ve var .
nin dağıtım işlevi nedir ?
Diyelim ki korelasyon katsayısı ile birlikte normal olan iki standart normal rastgele değişken ve var .
nin dağıtım işlevi nedir ?
Yanıtlar:
Göre Nadarajah ve Kotz 2008 , İki Gauss Rastgele Değişkenler Max / Min Tam Dağıtım ait PDF gibi görünmektedir
Burada ve standart normal dağılımın CDF'sidir.Φ
Let ( X , Y ) ρ için iki değişkenli Normal PDF olabilir standart marjinaller ve korelasyon ile . Maksimumun CDF'si, tanım gereği,
İki değişkenli Normal PDF, diyagonal etrafında simetriktir (yansıma yoluyla). Böylece, artan için orijinal yarı sonsuz kareye denk olasılık iki şerit ekler: sonsuz küçük kalınlığında üst biridirz + d z ( - ∞ , z ] × ( z , z + d z ] ( z , z + d z ] × ( - ∞ , z ] yandan da yansıyan muadili sağ şerit, .
Sağ taraftaki şerit olasılık yoğunluk yoğunluğu de kaç kez toplam şartlı olasılık , şerit içinde . koşullu dağılımı her zaman Normal'dir, bu nedenle bu toplam koşullu olasılığı bulmak için sadece ortalamaya ve varyansa ihtiyacımız var. Koşullu ortalama de regresyon öngörüz Y Pr ( Y ≤ zY Y X ρ X var ( Y ) - var ( ρ X ) = 1 - ρ 2 ve koşullu varyans "açıklanamayan" varyans .
Şimdi koşullu ortalama ve varyans biliyoruz, koşullu CDF verilen standartlaşarak elde edilebilirX Y Φ standart Normal CDF ve uygulayarak :
Bu değerlendirme ve ve yoğunluğu ile çarpılması de (standart normal PDFX = z X z ϕ ) ikinci olasılık yoğunluk verir (sağ), şerit
Bunu iki katına çıkarmak, eşit olası üst şeridi oluşturur ve PDF'ye maksimum
Kökenlerini belirten faktörleri renklendirdim: İki simetrik şerit için ; sonsuz şerit genişlikleri için ; ve şerit uzunlukları için . İkincisi, argümanı, koşullu yalnızca standartlaştırılmış bir sürümüdür .