En fazla iki ilişkili normal değişkenin dağılımı


Yanıtlar:


22

Göre Nadarajah ve Kotz 2008 , İki Gauss Rastgele Değişkenler Max / Min Tam Dağıtım ait PDF gibi görünmektedirX=max(X1,X2)

f(x)=2ϕ(x)Φ(1r1r2x),

Burada ve standart normal dağılımın CDF'sidir.ΦϕΦ

resim açıklamasını buraya girin


(hiç korelasyon yoksa) bu neye benziyor ? Görselleştirmekte sorun yaşıyorum. r=0
Mitch

3
Dağıtımı görselleştiren bir figür ekledim. Sağa doğru eğilmiş sıkılmış bir Gaussian gibi görünüyor.
Lucas

22

Let ( X , Y ) ρfρ için iki değişkenli Normal PDF olabilir standart marjinaller ve korelasyon ile . Maksimumun CDF'si, tanım gereği,(X,Y)ρ

Pr(max(X,Y)z)=Pr(Xz, Yz)=zzfρ(x,y)dydx.

İki değişkenli Normal PDF, diyagonal etrafında simetriktir (yansıma yoluyla). Böylece, artan için orijinal yarı sonsuz kareye denk olasılık iki şerit ekler: sonsuz küçük kalınlığında üst biridirz + d z ( - , z ] × ( z , z + d z ] ( z , z + d z ] × ( - , z ]zz+dz(,z]×(z,z+dz] yandan da yansıyan muadili sağ şerit, .(z,z+dz]×(,z]

şekil

Sağ taraftaki şerit olasılık yoğunluk yoğunluğu de kaç kez toplam şartlı olasılık , şerit içinde . koşullu dağılımı her zaman Normal'dir, bu nedenle bu toplam koşullu olasılığı bulmak için sadece ortalamaya ve varyansa ihtiyacımız var. Koşullu ortalama de regresyon öngörüz Y Pr ( Y zXzYY Y X ρ X var ( Y ) - var ( ρ X ) = 1 - ρ 2Pr(Yz|X=z)YYXρX ve koşullu varyans "açıklanamayan" varyans .var(Y)var(ρX)=1ρ2

Şimdi koşullu ortalama ve varyans biliyoruz, koşullu CDF verilen standartlaşarak elde edilebilirX Y ΦYXY standart Normal CDF ve uygulayarak :Φ

Pr(Yy|X)=Φ(yρX1ρ2).

Bu değerlendirme ve ve yoğunluğu ile çarpılması de (standart normal PDFX = z X z ϕy=zX=zXzϕ ) ikinci olasılık yoğunluk verir (sağ), şerit

ϕ(z)Φ(zρz1ρ2)=ϕ(z)Φ(1ρ1ρ2z).

Bunu iki katına çıkarmak, eşit olası üst şeridi oluşturur ve PDF'ye maksimum

ddzPr(max(X,Y)z)=2ϕ(z)Φ(1ρ1ρ2z).

tekrarlama

Kökenlerini belirten faktörleri renklendirdim: İki simetrik şerit için ; sonsuz şerit genişlikleri için ; ve şerit uzunlukları için . İkincisi, argümanı, koşullu yalnızca standartlaştırılmış bir sürümüdür .2ϕ(z)Φ()1ρ1ρ2zY=zX=z


Bu, verilen korelasyon matrisi ile ikiden fazla standart normal değişkene genişletilebilir mi?
A. Donda

1
@ A.Donda Evet - ancak ifade daha karmaşık hale geliyor. Her yeni boyutla bir kez daha bütünleşme ihtiyacı geliyor.
whuber
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.