Neredeyse yakınsama tam bir yakınsama anlamına gelmez

Biz demek tamamen yakınsama her için ise . $X_1, X_2, \ldots$ $X$ $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

Borel Cantelli'nin lemması, tam yakınsamanın neredeyse kesin yakınsama anlamına geldiğini kanıtlamak için ileriye dönüktür.

Neredeyse yakınsamanın Borel Cantelli ile kanıtlanamayacağından emin olduğum bir örnek arıyorum. Bu, neredeyse kesin olarak ama tamamen değil birbirine yaklaşan rastgele değişkenler dizisidir.

probability convergence

— Manuel
kaynak

İzin Vermek $\Omega=(0,1)$ Borel sigma-cebiri ile $\mathfrak{F}$ ve muntazam ölçü $\mu$ . Tanımlamak

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

ve $X_n(\omega)=0$ aksi takdirde. $X_n$ olasılık alanında açıkça ölçülebilir $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$ .

şekil

Herhangi $\omega\in\Omega$ ve tüm $N \gt 1/\omega$ durum böyle $X_n(\omega)=0$ . Böylece, tanım gereği, dizi $(X_n)$ yakınsar $0$ (sadece neredeyse değil!).

Ancak, ne zaman $0 \lt \epsilon \lt 1$ , $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$ , nereden

\sum_{n = 1}^{\infty} Pr (X_{n} > ϵ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n},

$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$

hangi ayrılır . $\infty$

— whuber
kaynak

Çok teşekkürler!. İki yorum, tanımlamak için bir neden yoktur yerine ? ikincisi, olmalı mı?

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

X_{n} (ω) = 1 when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$

\sum Pr (X_{n} > ϵ)

$\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$

— Manuel

1. İyi bir sebep yok. Bunu düşünürken, terimini bu noktalarda yakınsama olmayabileceğini hatırlatmak için kullandım. 2. yazım hatası düzeltildi , teşekkürler.

\pm 1

$\pm 1$

<

$\lt$

— whuber

Are bağımsız? Bana öyle geliyorlar ki, İkinci Borel Cantelli lemması, yakınsamanın neredeyse emin olmadığı anlamına geliyordu.

X_{n}

$X_n$

— Rdrr

@Rdrr Sonra gösteren hiçbir sorun olmalı bağımsız değildir.

X_{n}

$X_n$

— whuber