İlişkili rasgele değişkenler üretme formülü nasıl çalışır?

19

2 normal, ilişkisiz rastgele değişkenimiz ise, formülle ilişkili 2 rasgele değişken oluşturabiliriz $X_1, X_2$

$Y=\rho X_1+ \sqrt{1-\rho^2} X_2$

ve sonra bir korelasyon olacak ile . $Y$ $\rho$ $X_1$

Birisi bu formülün nereden geldiğini açıklayabilir mi?

correlation normal-distribution covariance

— Lanza
kaynak

1

Bu ve bununla ilgili sorunların kapsamlı bir tartışması stats.stackexchange.com/a/71303 adresindeki yanıtımda görünür . Diğer şeylerin yanı sıra, bu (1) Normallik varsayımı alakasız ve (2) ek varsayımda bulunmak gerektiğini düz yapar: ait sapmalar ve korelasyon için sırayla eşit olmalıdır ile olmaya .

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

X_{1}

$X_1$

ρ

$\rho$

— whuber

Çok ilginç bir bağlantı. Normalliğin alakasız olması ile ne demek istediğinizi anladığımdan emin değilim. Eğer veya normal değildir ve yoğunluğunu kontrol etmek için daha sert hale Kaiser-Dickman algoritma üzerinden. Bu, normal olmayan ilişkili veriler üretmek için özel algoritmaların bütün sebebidir (örn. Headrick, 2002; Ruscio ve Kaczetow, 2008; Vale ve Maurelli, 1983) Örneğin, hedefinizin ~ normal, ~ üniforma oluşturmak olduğunu hayal edin , = .5 ile. Kullanma ~ bir tekdüze sonuçları aynı değildir ( normal ve tek biçimli bir lineer birleşimi olan biter).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

ρ

$\rho$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Anthony

@Anthony Soru sadece , yalnızca birinci ve ikinci anların bir fonksiyonu olan korelasyon hakkında sorular sorar . Cevap, dağılımların diğer özelliklerine bağlı değildir. Tartıştığınız şey tamamen farklı bir konudur.

— whuber

17

Eğer doğrusal bir kombinasyonunu bulmak istediğinizi varsayalım ve böyle $X_1$ $X_2$

corr (α X_{1} + β X_{2}, X_{1}) = ρ

$\text{corr}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1) = \rho$

ve aynı (sıfır olmayan) sabitle çarparsanız , korelasyonun değişmeyeceğine dikkat edin. Bu nedenle, varyansı korumak için bir koşul ekleyeceğiz: $\alpha$ $\beta$ $\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \text{var}(X_1)$

Bu şuna eşdeğerdir:

ρ = \frac{cov (α X_{1} + β X_{2}, X_{1})}{\sqrt{var (α X_{1} + β X_{2}) var (X_{1})}} = \frac{α \overset{= var (X_{1})}{\overset{⏞}{cov (X_{1}, X_{1})}} + \overset{= 0}{\overset{⏞}{β cov (X_{2}, X_{1})}}}{\sqrt{var (α X_{1} + β X_{2}) var (X_{1})}} = α \sqrt{\frac{var (X_{1})}{α^{2} var (X_{1}) + β^{2} var (X_{2})}}

$\rho = \frac{\text{cov}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1)}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \frac{\alpha \overbrace{\text{cov}(X_1, X_1)}^{=\text{var}(X_1)} + \overbrace{\beta \text{cov}(X_2, X_1)}^{=0}}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \alpha \sqrt{\frac{\text{var}(X_1)}{\alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2)}}$

Her iki rastgele değişkenin de aynı varyansa sahip olduğunu varsayarsak (bu çok önemli bir varsayımdır!) ( ) $\text{var}(X_1) = \text{var}(X_2)$

ρ \sqrt{α^{2} + β^{2}} = α

$\rho \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \alpha$

Bu denklemin birçok çözümü vardır, bu nedenle varyans koruma koşulunu hatırlama zamanı:

var (X_{1}) = var (α X_{1} + β X_{2}) = α^{2} var (X_{1}) + β^{2} var (X_{2}) \Rightarrow α^{2} + β^{2} = 1

$\text{var}(X_1) = \text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2) \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 1$

Ve bu bizi

α = ρ β = \pm \sqrt{1 - ρ^{2}}

$\alpha = \rho \\ \beta = \pm \sqrt{1-\rho^2}$

UPD . İkinci soru ile ilgili olarak: evet, bu beyazlatma olarak bilinir .

— Artem Sobolev
kaynak

9

Denklem, Cholesky ayrışmasının basitleştirilmiş iki değişkenli bir şeklidir . Bu basitleştirilmiş denkleme bazen Kaiser-Dickman algoritması denir (Kaiser ve Dickman, 1962).

Bu algoritmanın düzgün çalışması için ve aynı varyansa sahip olması gerektiğini unutmayın . Ayrıca, algoritma normalde normal değişkenlerle kullanılır. Eğer veya normal değildir, ile aynı dağılımın olmayabilir . $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $Y$ $X_2$

Referanslar:

Kaiser, HF ve Dickman, K. (1962). Keyfi bir popülasyon korelasyon matrisinden örnek ve popülasyon skor matrisleri ve örnek korelasyon matrisleri. Psikometrika, 27 (2), 179-182.

— Anthony
kaynak

2

Sanırım standart normal değişkenlere ihtiyacınız yok, sadece aynı varyansa sahip olmak yeterli olmalı.

— Artem Sobolev

2

Resim, dağılımı ise olup , bir karışım Eğer İstem olarak dağılımı.

Y

$Y$

— Dilip Sarwate

Nokta alındı, @ Silip Sarwate. Ya Eğer veya normal olmayan, daha sonra istenen dağılımına neden olmayabilir iki değişken arasındaki bir doğrusal kombinasyonu olur. Bu, normal olmayan ilişkili veri için özelleştirilmiş algoritmaların (Kaiser-Dickman yerine) nedenidir.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

— Anthony

3

Korelasyon katsayısı, vektörler olarak ele alınırsa iki seri arasındaki ( veri noktası bir vektörün boyutu olmak üzere). Yukarıdaki formül, bir vektörün , bileşenlerinde ( ile ilgili olarak ) ayrıştırılmasını sağlar . eğer , daha sonra . $\cos$ $n^{th}$ $n^{th}$ $\cos\theta$ $sin\theta$ $X_1,X_2$
$\rho = cos \theta$ $\sqrt{1-{\rho}^2}=\pm sin \theta$

Çünkü ilişkisiz ise, aralarındaki açı dik açıdır (yani, normalleştirilmemiş olsa da, dik vektörler olarak düşünülebilir). $X_1, X_2$

— Dmitry Rubanovich
kaynak

2

Sitemize hoşgeldiniz! Matematiksel ifadeleri kullanarak işaretlerseniz postanızın daha fazla dikkat çekeceğine inanıyorum : Dolar işaretleri arasına alın. Düzenlerken yardım var.

T E X

$\TeX$

— whuber