Pozitif determinantın homojen rasgele dik matrisleri nasıl üretilir?

Muhtemelen aptalca bir sorum var, itiraf etmeliyim, kafam karıştı. Bazı boyutlarında düzgün dağılmış rastgele dik (ortonormal) matrisin tekrar tekrar üretildiğini düşünün . Bazen üretilen matris determinant , bazen de determinant . (Yalnızca iki olası değer vardır. Dikey dönüş açısından , dönüşün yanı sıra bir ek yansıma olduğu anlamına gelir.) $p$ $1$ $-1$ $\det=-1$

Biz işaretini değiştirebilir ve böylece $\det$ eksi ila artı işareti değiştirerek bir ortogonal matris bir (ya da daha genel olarak, herhangi bir tek sayı) o sütunu.

Sorum şu: bu tür rastgele matrisleri tekrar tekrar ürettiğimiz göz önüne alındığında , sadece belirli bir sütunun işaretini geri çevirmeyi seçtiğimiz her seferinde (örneğin, her zaman 1 veya her zaman son) tekdüze rastgele doğada bazı önyargılar getirecek miyiz ? Ya da biz gerektiğini sahip rastgele düzgün yayılı koleksiyonunu temsil matrisleri tutmak için rastgele sütun almaya?

— ttnphns
kaynak

Sütun seçimi önemli değildir: özel dik matrisler üzerinde oluşan dağılım $SO(n)$ hala aynıdır.

Bunu, grup elemanlarının tek tip üretimi ile ilgili birçok soruyu bariz bir şekilde açıklayan bir argüman kullanarak açıklayacağım. Bu argümanın her adımı önemsizdir, uygun tanımlara veya basit bir hesaplamaya atıfta bulunmaktan başka bir şey gerektirmez ( matrisinin $\mathbb{I}_1$ dikey ve kendinden ters olduğunu belirtmek gibi ).

Argüman, tanıdık bir durumun genelleştirilmesidir. Belirtilen bir sürekli dağılıma göre pozitif gerçek sayılar çizme görevini düşünün . Bu, sürekli bir dağılım herhangi bir gerçek sayı çekerek ve gerekirse olumlu bir değer (neredeyse kesin olarak) garanti etmek için sonucu reddederek yapılabilir. Dağıtım için bu sürecin işleyebilmesi için , özelliği olduğunu olmalı $F$ $G$ $F$ $G$

G, (x) - G, (- x) = F (x) .

$G(x) - G(-x) = F(x).$

Bunu yapmanın en basit yolu civarında simetrik olduğunda, , : tüm pozitif olasılık yoğunluklar iki katına çıkar ve tüm olumsuz sonuçlar ortadan kaldırılır. Yarı normal dağılım ( ) ve normal dağılım ( ) arasındaki tanıdık ilişki bu türdendir. $G$ $0$ $G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$ $F(x) = 2G(x) - 1$ $F$ $G$

Aşağıda, grubu sıfır olmayan gerçek sayıların ( çarpımsal bir grup olarak kabul edilir rolünü oynar ve alt grubu pozitif gerçek sayıların rolünü oynar . Haar ölçüsü olumsuzlama altında değişmezdir, bu nedenle dan "katlandığında" , pozitif değerlerin dağılımı değişmez . (Maalesef bu önlem bir olasılık ölçüsüne göre normalleştirilemez - ancak benzetmenin parçalanmasının tek yolu budur.) $O(n)$ $SO(n)$ $\mathbb{R}_{+}$ $dx/x$ $\mathbb{R}-\{0\}$ $\mathbb{R}_{+}$

Ortogonal bir matrisin belirli bir sütununu reddetmek (belirleyici negatif olduğunda), negatif bir gerçek sayıyı pozitif alt gruba katlamak için negatif bir analog sayıyı reddetme analogudur. Daha genel olarak, negatif determinantın herhangi bir dikey matrisi önceden seçebilir ve yerine kullanabilirsiniz : sonuçlar aynı olacaktır. $\mathbb{J}$ $\mathbb{I}_1$

Her ne kadar soru rastgele değişkenler üretme açısından ifade edilmiş olsa da, gerçekten ve matris gruplarındaki olasılık dağılımlarını soruyor. . Bu gruplar arasındaki bağlantı dik matris olarak tanımlanır $O(n, \mathbb{R}) = O(n)$ $SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

{ben}_{1} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 \end{matrix})

$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$

çünkü dikey bir matrisin ilk sütununu reddetmek , sağ çarpımı anlamına gelir . Uyarı bu ve ayrık birlik $\mathbb X$ $\mathbb{X}$ $\mathbb{I}_1$ $SO(n)\subset O(n)$ $O(n)$

Ö (n) = S Ö (n) \cup S Ö (n) {ben}_{1}^{- 1} .

$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$

Bir olasılık alanı göz önüne alındığında, tanımlanan , söz anlatılan işlem bir harita tanımlar $(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$ $O(n)$

f : O (n) \to S O (n)

$f:O(n)\to SO(n)$

ayarlayarak

f (X) = X

$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$

olduğunda ve $\mathbb{X}\in SO(n)$

f (X) = X I_{1}

$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$

için . $\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

Soru rasgele elemanları oluşturma hakkında ilgilidir rastgele elemanları elde edilmesiyle ile "ileri iterek" ile, geçerli: üretmek için . Pushforward, aşağıdakilerle bir olasılık alanı oluşturur $SO(n)$ $\omega\in O(n)$ $f$ $f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$ $(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

S^{'} = f_{*} S = {f (E) | E \subset S}

$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$

P^{'} (E) = (f_{*} P) (E) = P (f^{- 1} (E)) = P (E \cup E {ben}_{1})

$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$

tüm . $E \subset \mathfrak{S}^\prime$

ile doğru çarpmanın ölçü koruyucusu olduğunu varsayarsak , her durumda , hemen , $\mathbb{I}_1$ $E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$ $E\in\mathfrak{S}^\prime$

P^{'} (E) = P (E \cup E {ben}_{1}^{- 1}) = P (E) + P (E {ben}_{1}^{- 1}) = 2 P (E) .

$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$

Özellikle, , sağ çarpma altında değişmezse (bu tipik olarak "tekdüze" anlamına gelir), ve bunun tersi (eşittir kendisi) her ikisi de dikey anlamına gelir ve da aynı olduğunu gösterir. Bu nedenle, olumsuzlama için rastgele bir sütun seçmek gereksizdir. $\mathbb{P}$ $O(n)$ $\mathbb{I}_1$ $\mathbb{I}_1$ $\mathbb{P}^\prime$

— whuber
kaynak

+1. Bu çok hoş bir yazı, bu yanıtı gönderdiğiniz için teşekkürler.

— amoeba

Müthiş bir cevap. Ama başlayarak The question is concerned about generatingbeni sembolizmde ileriye doğru itmekte zorlandım. Akıl yürütmeyi kelimelerle özetleyebilir misiniz , daha erken bir meslekten olmayan için lütfen?

— ttnphns