Borel-Cantelli Lemma ile ilgili bir soru

Not:

Borel-Cantelli Lemma diyor ki

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

Sonra,

Eğer

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

Borel-Cantelli Lemma kullanarak

Bunu göstermek istiyorum

ilk olarak,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ var

ve ikinci olarak,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

Lütfen bu iki bölümü göstermeme yardım et. Teşekkür ederim.

— B11b
kaynak

Hayır, Borel-Cantelli lemması (hepsinin) en azından başka varsayımlar olmadan söylemez.

— kardinal

@cardinal, bu iki ifadeyi nasıl gösterebilirim? lütfen bana açıklayabilir misin? yeterince fikrim yok. Solutin bir yol gösterecek olursanız sevinirim :) teşekkür ederim

— B11b

Bir "ileri varsayım" eklendi.

— Zen

Küçük not: örneğin burada belirtildiği gibi , lemmanın ikinci kısmında sadece çift bağımsızlığı ile

A_{n}

$A_n$

— jld

İddiaların hiçbiri doğru değil.

Let olasılık ile bir madeni para flip başları şansı olmak tek ve bir zaman ve eşitlenir. Sonra: $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

Ancak, açıkça mevcut değildir. Sonuçlandırabileceğiniz en iyi şey . $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— Alex R.
kaynak