N normal iid ürününün yaklaşık dağılımı? Özel durum μ≈0

Verilen iid ve , arayan: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

doğru kapalı form dağıtım yaklaşımı $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
aynı ürünün asimtotik ( üstel ?) yaklaşımı

Bu daha genel bir sorunun özel durumudur . $\mu_X \approx 0$

— Andrei Pozolotin
kaynak

1. ve mı? ( tüm olması iyi olur .) (2) Asimptotik normal bir yaklaşım korkunç olacaktır , çünkü asimptotik uzaktan normal görünmeyecektir.

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

Bununla hızlıca oynadım. İlgileniyorsanız, olan rasgele değişkenin ürünü için kesin bir kapalı form çözümü elde etmek mümkündür . Sıfırdan farklı vaka işler çok daha karmaşık hale getirir.

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— wolfies

@whuber (1) bazı farklı ve ile bazı monte carlo yaptıktan sonra , dağılımının ve için oldukça iyi davrandığını ; Şimdi ben güzel bulmak istiyoruz ifadesini için ve nasıl benzer birkaç güzel yaklaşımları vardır. Taylor genişlemesi ile birkaç yaklaşım oluşturdum, ama kötü davranıyorlar. (2) iyi, kesinlikle chi kare ile normalin bir toplamı "görünüyor", bu yüzden eğer "bunu" kanıtlarsa, normale düşürülebilir.

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$

F

$F$

— Andrei Pozolotin

Tüm , güzel bir şekilde bir lognormal dağılım ile yaklaşık olacaktır (bir uygulama olarak Barry-Esseen teoremi için gösterir).

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

@whuber Barry-Esseen doğrudan uygulaması verir güzel gerçekten de, ancak bazı yapı kalktığında,: negatif olmalıdır, bağlı olmalıdır , etc., belki, uygulamanın daha iyi yolları var mı?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Andrei Pozolotin

Sıfır ortalama durumunda kesin bir çözüm elde etmek mümkündür (bölüm B).

Sorun

Let göstermektedirler IID değişkenler, ortak pdf her : $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

, için pdf $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

Çözüm

Bu tür iki Normalin ürününün pdf'si basitçe:

... burada MathematicaTransformProduct için mathStatica paketindeki işlevi kullanıyorum . Destek alanı:

3, 4, 5 ve 6 Normalin ürünü, aynı fonksiyonun tekrar tekrar uygulanmasıyla (burada dört kez) elde edilir:

... burada MeijerGbelirtmektedir Meijer G fonksiyonunu

İndüksiyonla, iid rasgele değişkenlerin ürününün pdf'si : $n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

Hızlı Monte Carlo kontrolü

İşte karşılaştırmayı hızlı bir şekilde kontrol edin:

yeni elde edilen teorik pdf ( ve ): KIRMIZI DASHED eğrisi $n = 6$ $\sigma=3$
ampirik Monte Carlo pdf'ye: dalgalı MAVİ eğri

İyi görünüyor! [Mavi dalgalı Monte eğrisi tam kırmızı kesikli eğriyi gizliyor]

— Wolfies
kaynak

Olağanüstü, teşekkürler, Colin. Şimdi kitabınızı neden satın almam gerektiğini görüyorum :-) Ayrıca daha basit görünüyor mu merak ediyor . Wolfram becerilerimin tozunu alma zamanı.

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$

— Andrei Pozolotin