Kesirli fark formülünü anlama

Zaman serim var $y_t$ve bunu bir ARFIMA (diğer adıyla FARIMA) olarak modellemek istiyorum. Eğer$y_t$(fraksiyonel) düzeni ile bütünleşir, sabit hale getirmek için fraksiyonel olarak farklılaştırmak istiyorum.$d$

Soru : Kesirli farklılığı tanımlayan aşağıdaki formül doğru mu?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Burada , sırasının kesirli farkını gösterir .)$\Delta^d$$d$

Bu Wikipedia makalesini ARFIMA , Bölüm ARFIMA ( ) üzerine dayandırıyorum , ancak doğru bir şekilde anladığımdan emin değilim.$0,d,0$

Evet doğru görünüyor. Kesirli filtre binom genişlemesi ile tanımlanır:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

Bunu not et $L$ gecikme operatörüdür ve bu filtrenin, $0<d<1$. Şimdi süreci düşünün:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

Genişliyoruz:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

ki şu şekilde yazılabilir:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

Bkz. Aktif Fiyat Dinamikleri, Oynaklık ve Tahmin , Stephen J. Taylor (2007 edisyonunda s. 243) veya Zaman Serisi: Teori ve Yöntemler başka referanslar için Brockwell ve Davis.