Hala aynı ailenin üyesi olan normal olmayan iki rastgele çizginin doğrusal kombinasyonu

2 rastgele normal değişkenin doğrusal bir kombinasyonunun da rastgele normal bir değişken olduğu iyi bilinmektedir. Bu mülkü paylaşan normal olmayan yaygın dağıtım aileleri (ör. Weibull) var mı? Birçok karşı örnek var gibi görünüyor. Örneğin, üniformaların doğrusal bir kombinasyonu tipik olarak tek tip değildir. Özellikle, aşağıdakilerin her ikisinin de geçerli olduğu normal olmayan dağıtım aileleri var mı:

1. Bu aileden gelen iki rastgele değişkenin doğrusal bir kombinasyonu, o ailedeki bazı dağılımlara eşdeğerdir.
2. Elde edilen parametreler orijinal parametrelerin ve doğrusal kombinasyondaki sabitlerin bir fonksiyonu olarak tanımlanabilir.

Özellikle bu doğrusal kombinasyonla ilgileniyorum:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

burada ve , \ theta_1 ve \ theta_2 parametreleriyle normal olmayan bir aileden örneklenir ve Y , \ theta_Y = f (\ theta_1, \ theta_2, w) parametresiyle aynı normal olmayan aileden gelir .$X_1$$X_2$$\theta_1$$\theta_2$$Y$$\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

Basitlik için 1 parametreli bir dağıtım ailesini tanımlıyorum, ancak birden çok parametreli dağıtım ailelerine açıkım.

Ayrıca, simülasyon amaçlı çalışmak için ve üzerinde çok fazla parametre alanı olduğu örnek (ler) i arıyorum . Yalnızca çok spesifik ve için çalışan bir örnek bulabilirseniz , bu daha az yardımcı olacaktır.$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$

2 rastgele normal değişkenin doğrusal bir kombinasyonunun da rastgele normal bir değişken olduğu iyi bilinmektedir. Bu mülkü paylaşan normal olmayan yaygın dağıtım aileleri (ör. Weibull) var mı?

Normal dağılım hoş bir evrişim kimliğini tatmin eder: $X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$. Merkezi limit teoremine atıfta bulunuyorsanız, örneğin, aynı şekil katsayısına sahip olan gama dağılımları bu özelliği paylaşacak ve gama dağılımları olacak şekilde dönecektir. Lütfen merkezi limit teoreminin çağrılması ile ilgili bir uyarı notuna bakınız . Bununla birlikte, genel olarak, eşit olmayan şekil katsayıları ile, gama dağılımları, bir gama dağılımı olmayacak olan bir kıvrımdan ziyade, Denk. (2) iki gama dağılımının evrişimi . İlişkisiz işlemlerin bir karışım dağılımını oluşturan diğer ekleme tanımı, örneğin araçlar farklıysa, herhangi bir merkezi sınır sergilemesi gerekmeyecektir.

Muhtemelen başka örnekler de var, kapsamlı bir araştırma yapmadım. Evrişim için kapanış çok zorlanmış gibi görünmüyor. Doğrusal kombinasyon için Pearson VII'nin Pearson VII ile birlikte bir başka Pearson VII'dir .

2 rastgele normal değişkenin doğrusal bir kombinasyonunun da rastgele normal bir değişken olduğu iyi bilinmektedir. Bu mülkü paylaşan normal olmayan yaygın dağıtım aileleri (ör. Weibull) var mı?

Sanki Levy-kararlı dağıtım sınıfını arıyorsun . Bu sınıf$\mathscr{P}$ tüm dağıtımların $\mathcal{P} \in \mathscr{P}$ stabilite özelliğini karşılayan:

Başka bir deyişle, bu sınıftaki her dağıtım için, bu dağılımla iki bağımsız rasgele değişkenin doğrusal bir işlevini alırsanız, bu dağılım, o dağılımla birlikte tek bir rastgele değişkenin afin fonksiyonuyla aynı dağılıma sahiptir. (Bu stabilite gereksiniminin,$d=0$Bu, kesinlikle kararlı dağılımların alt sınıfını verir .)

Levy-kararlı dağıtımlar kendi başına bir dağıtım ailesi olarak düşünülebilir ve bu anlamda bu kararlılık özelliğine sahip tek dağıtım ailesi budur (tanım gereği) bu özelliğe sahip tüm dağıtımları kapsar. Normal dağılım, Cauchy dağılımı , Landau dağılımı ve Holtsmark dağılımı gibi Levy-kararlı dağılımlar sınıfına girer .