Varsayalım

Başlıkta önerildiği gibi. Varsayalım $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ pdf sürekli iid rasgele değişkenlerdir $f$ . $X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{N-1} > X_N$ , olayını düşünün $N \geq 2$, bu nedenle $N$ , sekansın ilk kez azaldığı zamandır. O halde 'nin değeri $E[N]$nedir?

Önce yi değerlendirmeye çalıştım $P[N = i]$. Ben

$$\begin{align*} P[N = 2] & = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)F(x)dx \\ & = \frac{F(x)^2}{2}\Large|_{-\infty}^{\infty} \\ & = \frac{1}{2} \\ P[N = 3] & = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\int_x^{\infty}f(y)F(y)dydx \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{1-F(x)^2}{2}dx \\ & = \frac{F(x)-F(x)^3/3}{2}\Large|_{-\infty}^{\infty} \\ & = \frac{1}{3} \end{align*}$$ Benzer şekildePaldım[N=4]=1$P[N = 4] = \frac{1}{8}$ . Gibi$i$büyük olur, hesaplama daha karmaşık bir hal alıyor ve ben kalıp bulamamıştır. Nasıl ilerlemem gerektiğini kimse önerebilir mi?

$\{X_i\}_{i\geq 1}$

$$N=\min\,\{n:X_{n-1}>X_n\},$$ $N\geq n$$X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1}$ $$\Pr(N\geq n) = \Pr(X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1})=\frac{1}{(n-1)!}, \qquad (*)$$ $\mathrm{E}[N]=\sum_{n=1}^\infty \Pr(N\geq n)=e\approx 2.71828\dots$

PS İnsanlar kanıtını sordu . Sekans değiştirilebilir olduğundan, için herhangi bir permütasyon için Çünkü bizolası permütasyonlar, sonuç takip eder.$(*)$$\pi:\{1,\dots,n-1\}\to\{1,\dots,n-1\}$

$$\Pr(X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1}) = \Pr(X_{\pi(1)}\leq X_{\pi(2)}\leq\dots\leq X_{\pi(n-1)}).$$ $(n-1)!$

Silverfish tarafından önerildiği gibi, aşağıdaki çözümü gönderiyorum. Ve

$$\begin{align*} P[N = i] & = P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1} > X_i] \\ & = P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1}] - P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1} \leq X_i] \\ & = \frac{1}{(i-1)!} - \frac{1}{i!} \end{align*}$$ $$\begin{align*} P[N \geq i] & = 1 - P[N < i] \\ & = 1 - \left(1 -\frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots +\frac{1}{(i-2)!} - \frac{1}{(i-1)!}\right)\\ & = \frac{1}{(i-1)!} \\ \end{align*}$$

Böylece .$E[N] = \sum_{i = 1}^{\infty}P[N \geq i] = \sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{(i-1)!} = e$

Alternatif bir argüman: artan tek bir sırası varolası permütasyonları . Sondan bir önceki konuma kadar yükselen ve sonra azalan siparişlerle ilgileniyoruz: bu maksimumun konumunda olmasını ve diğer son konumda olmasını gerektirir. Olduğundan ilk birini seçmek için yollar bizim sipariş sırayla hüküm ve nihai konuma taşımak, sonra da olasılığıdır:$X_i$$n!$$X_1, \dots, X_n$$n-1$$n-1$$X_i$$n-1$$n-1$

$$\Pr(N=n) = \frac{n-1}{n!}$$

Not , ve dolayısıyla entegrasyonda bulunan sonuçlarla tutarlıdır.$\Pr(N=2) = \frac{2-1}{2!} = \frac{1}{2}$$\Pr(N=3) = \frac{3-1}{3!} = \frac{1}{3}$$\Pr(N=4) = \frac{4-1}{4!} = \frac{1}{8}$

beklenen değerini bulmak için şunları kullanabiliriz:$N$

$$\mathbb{E}(N) = \sum_{n=2}^{\infty} n \Pr(N=n) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{n!} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!}= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$$

(Toplamı daha açık hale getirmek için ; bu toplamı bilmeyen okuyucular için Taylor serisini ve yerine )e x = ∑ ∞ k = 0 x $k=n-2$ x=$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$$x=1$

Sonucu simülasyon ile kontrol edebiliriz, işte R'de bazı kodlar:

firstDecrease <- function(x) {
    counter <- 2
    a <- runif(1)
    b <- runif(1)
    while(a < b){
        counter <- counter + 1
        a <- b
        b <- runif(1)
    }
    return(counter)
}

mean(mapply(firstDecrease, 1:1e7))

Bu geri döndü 2.718347, 2.71828beni tatmin edecek kadar yakın .

EDIT: Cevabım yanlış. Böyle basit görünen bir sorunun yanlış yorumlanmasının ne kadar kolay olduğuna bir örnek olarak bırakıyorum.

durumu için matematiğinizin doğru olduğunu düşünmüyorum . Bunu basit bir simülasyonla kontrol edebiliriz:$P[N=4]$

n=50000
flag <- rep(NA, n)
order <- 3
for (i in 1:n) {
  x<-rnorm(100)
  flag[i] <- all(x[order] < x[1:(order-1)])==T
}
sum(flag)/n

Bize verir:

> sum(flag)/n
[1] 0.33326

orderTerim 4 olarak değiştirilirse :

> sum(flag)/n
[1] 0.25208

Ve 5:

> sum(flag)/n
[1] 0.2023

Simülasyon sonuçlarımıza güvenirsek, desen . Ancak bu da mantıklıdır, çünkü gerçekten sorduğunuz şey, tüm gözlemlerinizin bir alt kümesinde verilen herhangi bir gözlemin minimum gözlem olma olasılığıdır (eğer biz varsayarsak, değişebilirliği varsayarız ve böylece düzen arbiterdir) ). Bunlardan biri minimum olmalıdır ve bu yüzden soru şu ki, rastgele seçilen herhangi bir gözlemin minimum olma olasılığı nedir? Bu sadece basit bir binom sürecidir.$P[N = X] = \frac{1}{x}$