Kaynaklar: Ters CDF'nin Kuyruğu

İstatistiklerde şu sonucu zaten gördüğümden neredeyse eminim ama nerede olduğunu hatırlayamıyorum.

Eğer pozitif bir rastgele değişken ve bir sonra olduğunda , burada bir cdf'si . $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

Bu, eşitliğini kullanarak ve integral eğrisinin altındaki alanın yatay bir kesim dikkate alınarak geometrik olarak kolayca görülebilir . $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

Bu sonuç için bir referans ve adının olup olmadığını biliyor musunuz?

— Stéphane Laurent
kaynak

"Daha genel olarak" parçalarla entegrasyonun basit bir uygulamasıdır. Bu neredeyse bir referansa ihtiyaç duyuyor!

— whuber

@whuber İlk sonuç hakkında da referans istiyorum.

— Stéphane Laurent

Stats.stackexchange.com/questions/18438 adresinde görmüş olabilirsiniz, ya da en azından buna benzer bir şey . Bu sonuç, integraldeki bir ikameden kaynaklanmaktadır, ki bu da o kadar basittir ki, özellikle literatürde not edilmesini veya özel bir isim verilmesini beklemez.

— whuber

@whuber Bağlantınızda

görmüyorum . Ayrıca Söz sonucu bir ayrık için de geçerlidir

de (alarak

bir sekansı olduğu ve değiştirilmesi

ile

daha genel tablosunda). İlk sonuç, genel bir

için bile geçerlidir .

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

— Stéphane Laurent

Daha klasik terimlerle ifade edilmesi şartıyla bunun herhangi bir referans olmadan kullanılabileceğine inanıyorum. Kabaca söylemek gerekirse, bu:

için

ile

, doğrudan bir sonucu:

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

ve hakim yakınsama. Genel durumda

adımlara sahip olabileceği(sol sürekli) ters

ifadesini almak için biraz çalışmaya ihtiyaç vardır.

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

— Yves

Yorumlarda Yves'in önerdiği "küçük işleri" ele almak için geometri titiz ve tamamen genel bir kanıt önerir.

İsterseniz, alanlara yapılan tüm başvuruları integrallerle ve "keyfi" referanslarına normal epsilon-delta argümanları ile değiştirebilirsiniz. Çeviri kolaydır.

Resmi ayarlamak için hayatta kalma fonksiyonu olmasına izin verin $G$

G, (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

Şekil bir kısmını çizmektedir . (Grafikteki atlamaya dikkat edin: bu özel dağılım sürekli değildir.) Büyük bir eşiği gösterilir ve küçük bir olasılık seçilmiştir (böylece ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

Gitmeye hazırız: ilgilendiğimiz değer, (göstermek istediğimiz sıfıra yakın), beyazın alanı yüksekliği ve tabanı ila dikdörtgen . Bu alanı beklentisiyle ilişkilendirelim , çünkü bizim için mevcut olan tek varsayım, bu beklentinin var olduğu ve sonlu olduğudur. $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

Pozitif kısım beklenti (elde edilen hayatta kalma eğrisi altındaki alandır için ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

Çünkü (kendisi de vardır ve sıvılan olmaz aksi beklentisinin) sonlu olması gerekir, biz almak olabilir altındaki alan büyük, böylece arasında ve her hesapları, veya hemen hemen tüm ait . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

Tüm parçalar şimdi yerinde: grafiği, eşiği , küçük yükseklik ve sağ uç noktası , analiz edebileceğimiz alanlara ayrılmasını önermektedir : $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

Olarak yukarıdan sıfıra gider, bir baz ile, beyaz bir dikdörtgen alanı daralmaları sıfıra, çünkü sabit kalır. ( Bu yüzden tanıtıldı; bu gösteri için anahtar fikir bu. ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
Mavi alan için yakın olarak yapılabilir Hoşunuza gidebilecek olarak uygun şekilde büyük başlayarak, küçük seçerek ve sonra . $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
Sonuç olarak, kalan alan - açıkça ile arasındaki beyaz dikdörtgenden daha büyük olmayan alan keyfi olarak küçük yapılabilir. (Başka bir deyişle, sadece kırmızı ve altın alanları görmezden gelin.) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

Böylece , bölgeleri sıfıra yaklaşan iki parçaya ayırdık. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ Böylece, , QED. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— whuber
kaynak