Uzun dönem varyansı nedir?

Zaman serisi analizi alanında uzun dönem varyans nasıl tanımlanır?

Verilerde bir korelasyon yapısı olması durumunda kullanıldığını anlıyorum. Yani stokastik sürecimiz rastgele değişkenler içeren ailesi değil, sadece aynı şekilde dağıtılmış mı? $X_1, X_2 \dots$

Konsept ve tahmininde yer alan zorluklara giriş olarak standart bir referans alabilir miyim?

— monolit
kaynak

ile ilgili: stats.stackexchange.com/questions/154070/…

— Taylor

Seri bağımlılık olduğunda örnek ortalamanın standart hatasının bir ölçüsüdür.

Eğer olup kovaryans sabit olan ve (bir iid ortamda, bu miktar, sıfır olur!) Böyle . Sonra burada ilk eşitlik tanımlanır , ikincisinin kurulması biraz daha zor ve üçüncüsü durağanlığın bir sonucu, bu da . $Y_t$ $E(Y_t)=\mu$ $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$

Yani sorun gerçekten bağımsızlık eksikliği. Bunu daha net görmek için örnek ortalamasının

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

Uzun dönem varyansı tahmin etmeyle ilgili bir sorun, elbette sonlu verilerle tüm otokovaryansları gözlemlemememizdir. Çekirdek (ekonometride, "Newey-West" veya HAC tahmincileri) bu amaçla kullanılır,

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ bir çekirdek veya ağırlıklandırma işlevidir, örnek otokovaryanslardır. , diğer şeylerin yanı sıra simetrik olmalı ve . bir bant genişliği parametresidir.

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

Popüler bir çekirdek, Bartlett çekirdeği İyi ders kitabı referansları Hamilton, Zaman Serisi Analizi veya Fuller'dir . Seminal (ancak teknik) bir dergi makalesi Newey ve West, Econometrica 1987'dir .

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

— Christoph Hanck
kaynak

Teşekkür ederim! Hamilton tarafından Zaman serisi Analizini kontrol ettim. Aslında spektrumu tahmin etmenin parametrik olmayan bir yolunun örnek kovaryansların ağırlıklı bir ortalamasını almak olduğunu söyler, ancak bu ifadenin belirlenmesinin arkasındaki matematiği araştırmaz. Örnek boyutu arttığında bunun neden iyi bir tahminci olduğunu açıklayan bir referans kitap veya kağıt önerebilir misiniz?

— Monolit

iyi bir nokta. Bazı düzenlemeler yapıldı

— Christoph Hanck

Belki de ikinci ("zor") adımın hakim yakınsama gerektirdiğini belirtmek gerekir (bkz. Stats.stackexchange.com/questions/154070/… ).

— Tamas Ferenci

@TamasFerenci, işaretçi için teşekkürler, bağlantıyı dahil ettim.

— Christoph Hanck

@Cristoph Hanck, rica ederim, güncelleme için teşekkürler!

— Tamas Ferenci