Doğrusal olmayan regresyon için tahmin bantları nasıl hesaplanır?

Yardım sayfası Prizma için doğrusal olmayan regresyon için tahmin bantları hesaplar nasıl aşağıdaki açıklama verir. Lütfen uzun alıntıyı affedin, ancak ikinci paragrafı takip etmiyorum (bu nasıl $G|x$tanımlandığını ve $dY/dP$ nasıl hesaplandığını açıklar ). Herhangi bir yardım büyük mutluluk duyacağız.

Güven ve tahmin bantlarının hesaplanması oldukça standarttır. Prism'in doğrusal olmayan regresyonun tahmin ve güven bantlarını nasıl hesapladığı ile ilgili ayrıntılar için okumaya devam edin.

İlk olarak, belirli bir X değerindeki parametrelerin gradyanı olan ve parametrelerin en iyi uyan değerlerini kullanan G | x'i tanımlayalım. Sonuç, parametre başına bir öğe içeren bir vektördür. Her parametre için, dY / dP olarak tanımlanır; burada Y, X'in belirli değeri ve tüm en uygun parametre değerleri verildiğinde eğrinin Y değeri ve P parametrelerden biridir.)

G '| x, transpoze edilen gradyan vektörüdür, bu nedenle bir değer sırası yerine bir sütundur.

Cov kovaryans matrisidir (son iterasyondan Hessen'i tersine çevirir). Parametre sayısına eşit satır ve sütun sayısının bulunduğu kare bir matristir. Matristeki her öğe iki parametre arasındaki kovaryanstır.

Şimdi c = G '| x * Cov * G | x değerini hesaplayın. Sonuç, herhangi bir X değeri için tek bir sayıdır.

Güven ve tahmin bantları en uygun eğri üzerinde merkezlenir ve eğrinin üstüne ve altına eşit miktarda uzanır.

Güven bantları eğrinin üzerinde ve altında uzanır: = sqrt (c) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (Güven%, DF)

Tahmin bantları eğrinin üzerinde ve altında başka bir mesafe daha uzatır: = sqrt (c + 1) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (Güven%, DF)

Buna Delta Yöntemi denir.

Diyelim ki bazı fonksiyonlarınız var ; O notu G ( ⋅ ) , sen tahmin ediyoruz parametrelerin bir fonksiyonudur β , ve belirteçlerinin değerleri x . İlk olarak, bu fonksiyonun parametre vektörünüze göre türevini bulun, β : G ′ ( β , x $y = G(\beta,x) + \epsilon$$G(\cdot)$$\beta$$x$$\beta$$G^\prime(\beta, x)$. Buna göre, bir parametreyi biraz değiştirirseniz, işleviniz ne kadar değişir? Bu türevin, parametrelerinizin yanı sıra öngörücülerin bir işlevi olabileceğini unutmayın. Örneğin, , daha sonra türevidir x exp ( β x ) değerine bağlıdır ki, p ve değeri x . Bu değerlendirmek için, tahmini takın P senin prosedür verdiğini, P ve belirleyicisi değeri $G(\beta,x) = \exp (\beta x)$$x \exp (\beta x)$$\beta$$x$$\beta$$\hat{\beta}$$x$ tahmin etmek istediğiniz yere.

Maksimum olabilirlik uygulamalardan elde edilen delta yöntem olup, varyansı olduğu durumları olacak G ' ( β , x ) T Var ( β ) G ' ( $G\left(\hat{\beta}, x\right)$var ( β

$$G^\prime\left(\hat{\beta},x\right)^T \text{Var}\left(\hat{\beta}\right) G^\prime\left(\hat{\beta},x\right),$$ $\text{Var}\left(\hat{\beta}\right)$tahminlerinizin varyans-kovaryans matrisidir (bu, Hessian'ın tersine eşittir - tahminlerinizdeki olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevleri). İstatistik paketlerinizin kullandığı işlev, yordamının her farklı değeri için bu değeri hesaplar . Bu, x'in her değeri için bir vektör değil, sadece bir sayıdır .$x$$x$

Bu, her noktadaki fonksiyonun değerinin varyansı verir ve bu sadece güven aralıkları hesaplanmasında başka varyans gibi kullanılır: normal veya uygulanabilir için kritik değer ile çarpın, bu değerin karekökünü almak t a için ilgili dağıtım güven düzeyini belirleyin ve bu değeri noktadaki tahminine ekleyin ve çıkarın .$G(\cdot)$

$x$$\text{Var}(y \mid x) \equiv \sigma^2$$\epsilon$$\hat{\sigma}^2$$y$$y$$\hat{\sigma}^2$SSDF

c$\sigma^2$$\sigma^{-2}$$\sigma$c*SS/DF

c$\left(x^\prime x\right)^{-1}$$\text{Var}\left(\hat{\beta}\right) = \sigma^2 \left(x^\prime x\right)^{-1}$