Kriging İnterpolasyonu nasıl çalışır?

Bazı değişkenlerin bazı çevreleyen değişkenlere dayalı değerini tahmin etmek için Kriging kullanmanız gereken bir sorun üzerinde çalışıyorum. Kodunu kendim uygulamak istiyorum. Bu yüzden, nasıl çalıştığını anlamak için çok fazla belgeden geçtim, ama çok kafam karıştı. Genel olarak, bunun ağırlıklı bir ortalama olduğunu anlıyorum, ancak ağırlığı hesaplama işlemini tamamen anlayamadım, sonra bir değişkenin değerini tahmin edemedim.

Herkes bana bu enterpolasyon yöntemlerinin matematiksel yönlerini ve nasıl çalıştığını basit bir şekilde açıklayabilir mi?

Bu cevap, son zamanlarda, kendisi "Sıradan Kriging" in mütevazı bir genellemesi olan "Evrensel Kriging" in (mütevazı) uzamsal-zamansal uzantısını tanımlayan bir makale için yazdığım bir giriş bölümünden oluşuyor. Üç alt bölümü vardır: Teori istatistiksel bir model ve varsayımlar verir; Tahmin, en küçük kareler parametre tahminini kısaca gözden geçirir; ve Tahmin gösterileri nasıl Genelleştirilmiş En Küçük Kareler (GLS) çerçevesinde sığacağını kriging. İstatistikçilere, özellikle bu sitenin ziyaretçilerine aşina olan gösterimi benimsemeye ve burada iyi açıklanmış kavramları kullanmaya çalıştım.

Özetlemek gerekirse, kriging rastgele bir alanın En İyi Doğrusal Tarafsız Tahminidir (BLUP). Bunun anlamı, herhangi bir örneklenmemiş yerde öngörülen değerin, örneklenmiş yerlerde gözlemlenen değerlerin ve ortak değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak elde edilmesidir. Buradaki (bilinmeyen, rastgele) değer, örnek değerlerle varsayılan bir korelasyona sahiptir (ve örnek değerler kendi aralarında korelasyon göstermektedir). Bu korelasyon bilgisi kolayca tahminin varyansına çevrilir. Tahminde sıfır yanlılık durumuna bağlı olarak bu varyansı olabildiğince küçük yapan lineer kombinasyondaki ("kriging ağırlıkları") katsayılar seçilir. Ayrıntılar aşağıdadır.

---

teori

Birleşik Krallık, bir çalışma alanı için bir GLS modeli bağlamında yürütülen iki tahmin - biri tahmin, diğeri tahmin - içermektedir. GLS modeli varsayan örnek veriler, bir eğilim çevresinde rasgele sapmalar sonucudur ve bu sapmalar ilişkili olduğu. Eğilim, bilinmeyen p katsayılarının (parametrelerin) doğrusal bir kombinasyonu ile belirlenebilen bir değer anlamında ifade edilir β = ( β 1 , β 2 , … , $z_i,\ (i = 1, 2, ..., n)$$p$ . (Bu mesaja boyunca, ana ' O anlamına gelir matris devrik ve bütün vektörler kolon vektörleri olarak kabul edilir).$\beta=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_p)^\prime$$^\prime$

Bir çalışma alanı içindeki herhangi bir yerde “ bağımsız değişkenler ”veya“ ortak değişkenler ”olarak adlandırılan bir dizi sayısal özellik vardır . (Tipik olarak y 1 = 1 bir "sabit terimdir" y 2 ve y 3 uzamsal koordinatlar olabilir ve ek y $\mathbf y = (y_1, y_2, \ldots, y_p)^\prime$$y_1 = 1$$y_2$$y_3$$y_i$iyi bir pompalama bir aküferin veya mesafe gözenekliliği olarak çalışma alanındaki tüm konumlarda, mevcuttur uzamsal bilgiler hem de diğer yardımcı bilgiyi temsil edebilir.) her bir veri yerde de , onun eş değişken ek olarak Y i = ( y i 1 , y i 2 , ... , y ı p ) ' , ilgili gözlem z i rastgele değişken bir gerçekleşme olarak kabul edilir Z i . Buna karşılık, y $i$$y_i = (y_{i1}, y_{i2}, \ldots, y_{ip})^\prime$$z_i$$Z_i$$y_i$gözlemlerle temsil edilen noktalar veya küçük bölgeler tarafından belirlenen veya karakterize edilen değerler olarak düşünülür (veriler “destekler”). rastgele değişkenlerin gerçekleşmeleri olarak kabul edilmez ve herhangi birine ait özellikleri ile ilgili olmayan olunmalıdır Z i .$y_i$$Z_i$

Doğrusal kombinasyon , Z i'nin beklenen değerini β parametreleri cinsinden ifade eder . i konumundaki trendin değeri i . Tahmin işlem değerleri bulmak için verileri kullanır P i bilinmeyen parametreler temsil ettiğini p

$${\bf{E}}\left[ {Z_i } \right] = {\bf{y'}}_i {\bf{\beta }} = y_{i1} \beta _1 + y_{i2} \beta _2 + \cdots + y_{ip} \beta _p$$ $Z_i$$\beta$$i$$\hat\beta_i$$\beta_i$tahmin işlemi ise örneklenmemiş bir konumda bir değeri hesaplamak için konumlarındaki verileri kullanır; burada i = 0 olarak endekslenir . Kestirim hedefleri (sabittir , yani değeri nedeniyle tahmin hedefi, rastgele ise, rastgele olmayan) parametreleri z 0 trend etrafında rasgele dalgalanma içeren y ' 0 p . Genellikle, farklı konum 0 ile aynı verileri kullanan birden çok konum için tahminler yapılır$i = 1, 2, \ldots, n$$i = 0$$z_0$$y_0^\prime\beta$$0$. Örneğin, genellikle konturlama için uygun bir nokta ızgarası boyunca bir yüzeyi haritalamak için tahminler yapılır.

tahmin

Klasik kriging rasgele dalgalanmalar varsayar sıfır değerleri beklenen ve onların kovaryanslar bilinmektedir. Kovaryans Yazın , Z ı ve Z, j olarak C ı j . Bu kovaryans kullanılarak, tahmin GLS kullanılarak gerçekleştirilir. : Bu çözelti şu şekildedir β = H Z , H = ( E ' Cı - 1 -Y ) - 1 -Y ' Cı - 1 burada Z = ( Z $Z_i$$Z_i$$Z_j$$c_{ij}$

$$\hat\beta=\bf{Hz},\ {\bf{H}} = \left( {{\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y}}} \right)^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}}$$ olan , n gözlemlerin -vector, Y = ( y i j ) ( “tasarım matrisi”) 'dir , n ile p satır vektörlerdir matris y ' i , 1 ≤ i ≤ n ve C = ( c i j ) ,ters çevrilebilir olduğu varsayılan n -by- n kovaryans matrisidir (Draper & Smith (1981), bölüm 2.11). ${\bf {z}} = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$$n$${\bf Y} = (y_{ij})$$n$$p$$y_i^\prime, 1 \le i \le n$$\mathbf C = (c_{ij})$$n$$n$ ile N matrisi H veri çıkıntı, z tahminleri parametre üzerine p , “hat matrisi” olarak adlandırılır. Formülasyonu, p açık veri parametre değerleri verilere doğrusal bağlıdır gösterilmiştir için şapka matris uygulanması gibi. C = ( c i j ) kovaryanslarıklasik olarak veri konumları açısından kovaryans veren bir variogram kullanılarak hesaplanır, ancak kovaryansın gerçekte nasıl hesaplandığı önemsizdir.$p$$n$$\mathbf H$$\mathbf z$$\hat \beta$$\hat\beta$$\mathbf C = (c_{ij})$

tahmin

UK Benzer tahmin veri lineer bir kombinasyonu vasıtasıyla z 0 = λ 1 z 1 + λ 2 z 2 + ⋯ + λ n z , n = λ ' z . Λ I tahmini için “kriging ağırlıkları” olarak adlandırılır z 0 . İngiltere bu z 0 tahminini iki kriteri karşılayarak başarmaktadır . İlk olarak, öngörü tarafsız olmalı, bu da rastgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun gerekli kılınmasıyla ifade edilmelidir.$z_0$

$$\hat z_0 = \lambda _1 z_1 + \lambda _2 z_2 + \cdots + \lambda _n z_n = {\bf{\lambda 'z}}.$$ $\lambda_i$$z_0$$z_0$ eşit Z 0 ortalama: 0 = E [ Z 0 - Z, 0 ] = E [ λ ' Z - Z, 0 ] . Bu beklenti, eklem üzerinden alınır , n + 1 ve -variate dağıtım Z 0 ve Z = ( Z 1 , Z, 2 , ... , Z, n,$Z_i$$Z_0$ $$0 = {\bf{E}}\left[ {\hat Z_0 - Z_0 } \right] = {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right].$$ $n+1$$Z_0$$\mathbf Z = (Z_1, Z_2, \ldots, Z_n)$. Trend varsayımı (1) ile birlikte beklenen doğrusallık: $$\eqalign{ 0 &= {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right] = {\bf{\lambda 'E}}\left[ {\bf{Z}} \right] - {\bf{E}}\left[ {Z_0 } \right] = {\bf{\lambda '}}\left( {{\bf{Y\beta }}} \right) - {\bf{y'}}_0 {\bf{\beta }} = \left( {{\bf{\lambda 'Y}} - {\bf{y'}}_0 } \right){\bf{\beta }}\\ &= {\bf{\beta '}}\left( {{\bf{Y'\lambda }} - {\bf{y}}_0 } \right) }$$

$\beta$

$$\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0.$$

$\lambda$$\hat Z_0 - Z_0$

$${\rm{Var}}\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right) = {\bf{E}}\left[ {\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right)^2 } \right] = {\bf{E}}\left[ {\left( {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right)^2 } \right] = c_{00} - 2{\bf{\lambda 'c}}_0 + {\bf{\lambda 'C\lambda }}$$ $\mathbf c_0 = (c_{01}, c_{02}, \ldots, c_{0n})^\prime$$Z_0$$Z_i,\ i \ge 1$$c_{00}$$Z_0$

$\lambda$$p$$\mu$$\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0$$n+p$

$$\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{C}} & {\bf{Y}} \\ {{\bf{Y'}}} & {\bf{0}} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{\lambda }} \\ {\bf{\mu }} \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {{\bf{c}}_{\bf{0}} } \\ {{\bf{y}}_{\bf{0}} } \\ \end{array}} \right)$$ $\mathbf 0$$p$$p$$\mathbf 1$$n$$n$$\lambda$ $${\bf{\lambda }} = {\bf{H'y}}_0 + {\bf{C}}^{ - 1} \left( {{\bf{1}} - {\bf{YH}}} \right){\bf{c}}_0.$$

(Çoklu regresyona aşina olan okuyucular , bu çözümü , neredeyse tamamen aynı görünen, ancak Lagrange çarpanı terimleri olmadan , normal en küçük kareler Normal denklemlerinin kovaryans tabanlı çözümüyle karşılaştırmayı öğretici bulabilir .)

$\lambda$$[\mathbf H^\prime\, \mathbf y_0]$$Z_0$$\hat z_0$