Varyansın ters fonksiyonu

Belirli bir sabit sayı için $r$(örneğin 4), için bir olasılık dağılımı bulmak mümkün mü , böylece ?$X$$\mathrm{Var}(X)=r$

Davaları dikkatlice değerlendirmek $r$: Eğer $r=0$ o zaman dağıtım dejenere olur, ama $X$ herhangi bir anlamı olabilir. Yani,$\Pr(X=\mu)=1$ ve $\Pr(X=c)=0$ herhangi $c \neq \mu$. Böylece birçok olası dağıtım bulabiliriz.$X$, ancak bunlar tarafından dizine eklenir ve tarafından tamamen belirtilir $\mu \in \mathbb{R}$.

Eğer $r<0$ , dağıtım bulunamadı çünkü $\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X-\mu_X)^2 \geq 0$.

İçin $r>0$, yanıt ne hakkında ek bilgilerin bilindiğine bağlı olacaktır. $X$. Örneğin,$X$ anlamı olduğu biliniyor $\mu$, sonra herhangi biri için $\mu \in \mathbb{R}$ ve $r>0$ alarak bu anlarla bir dağılım bulabiliriz $X \sim N(\mu, r)$. Bu, ortalama ve varyansın eşleştirilmesi sorununa benzersiz bir çözüm değildir, ancak normal olarak dağıtılan tek çözümdür (ve olası tüm çözümlerden, Daniel'in belirttiği gibi entropiyi en üst düzeye çıkaran çözüm budur). Ayrıca üçüncü merkezi anı veya daha yüksek bir anı eşleştirmek istediyseniz , daha geniş bir olasılık dağılımlarını dikkate almanız gerekir.

Bunun yerine, dağıtımı hakkında bazı bilgilerimiz olduğunu varsayalım. $X$anlarından ziyade. Örneğin, eğer$X$ bir Poisson dağılımını takip eder, o zaman benzersiz çözüm $X \sim \mathrm{Poisson}(r)$. Eğer bilersek$X$ üstel bir dağılımı takip eder, o zaman yine benzersiz bir çözüm var $X \sim \mathrm{Exponential}(\frac{1}{\sqrt{r}})$, burada parametreyi çözerek bulduk $\mathrm{Var}(X) = r = \frac{1}{\lambda^2}$.

Diğer durumlarda bütün bir çözüm ailesi bulabiliriz. Eğer bilersek$X$ dikdörtgen (sürekli üniforma) dağılımını takip eder, o zaman benzersiz bir genişlik bulabiliriz $w$ çözerek dağıtım için $\mathrm{Var}(X) = r = \frac{w^2}{12}$. Ama bütün bir çözüm ailesi olacak,$X \sim U(a, a+w)$ tarafından parametrelendirildi $a \in \mathbb{R}$- bu setteki dağılımların hepsi birbirinin çevirisidir. Benzer şekilde,$X$ herhangi bir dağılımdan normal $X \sim N(\mu, r)$ işe yarayacaktır (dolayısıyla, dizine eklenmiş bir dizi çözümümüz var $\mu$, bu da yine herhangi bir gerçek sayı olabilir ve yine ailenin hepsi birbirinin çevirisidir). Eğer$X$bir gamma dağılımını takip eder , daha sonra şekil ölçeğinde parametreleştirmeyi kullanarak bütün bir çözüm ailesi elde edebiliriz,$X \sim \mathrm{Gamma}(\frac{r}{\theta^2}, \theta)$ tarafından parametrelendirildi $\theta > 0$. Bu ailenin üyeleri birbirinin çevirisi değildir. Bir "çözüm ailesi" nin nasıl görünebileceğini görselleştirmeye yardımcı olmak için, aşağıdakiler tarafından dizine eklenmiş normal dağıtım örnekleri$\mu$ve ardından tarafından endekslenen gama dağılımları $\theta$, hepsi dörte eşit varyansa sahip, örneğe karşılık $r=4$ sorunuzda.

Öte yandan, bazı dağıtımlar için, değerine bağlı olarak bir çözüm bulmak mümkün olabilir veya olmayabilir. $r$. Örneğin,$X$ o zaman bir Bernoulli değişkeni olmalı $0 \leq r \lt 0.25$ iki olası çözüm var $X \sim \mathrm{Bernoulli}(p)$ çünkü iki olasılık var $p$ denklemi çözen $\mathrm{Var}(X) = r = p(1-p)$ve aslında bu iki olasılık tamamlayıcıdır yani $p_1 + p_2 = 1$. İçin$r=0.25$ sadece eşsiz bir çözüm var $p=0.5$, ve için $r>0.25$ hiçbir Bernoulli dağılımı yeterince yüksek varyansa sahip değildir.

Davadan da bahsetmem gerektiğini hissediyorum $r = \infty$. Bu durum için de çözümler var, örneğin bir Öğrenci$t$iki serbestlik dereceli dağılım .

Grafikler için R kodu

require(ggplot2)

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=-8, to=8, length=100), times=5),
    mu = rep(c(-4, -2, 0, 2, 4), each=100))
x.df$pdf <- dnorm(mean=x.df$mu, x.df$x)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(mu), colour=factor(mu))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(mu), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Normal distributions with variance 4")

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=0, to=20, length=1000), times=5),
    theta = rep(c(0.25, 0.5, 1, 2, 4), each=1000))
x.df$pdf <- dgamma(x.df$x, shape=4/(x.df$theta)^2, scale=x.df$theta)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(theta), colour=factor(theta))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(theta), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Gamma distributions with variance 4") +
    coord_cartesian(ylim = c(0, 1)) 

Eğer bu mümkün" demek varsayarak bir bulmak için olasılık dağılımını için$X$"o zaman cevap evettir, çünkü $X$tatmin etmek gerekir. Aslında, bu koşulu karşılayacak sonsuz sayıda olası dağıtım vardır. Normal bir dağılım düşünün,$\mathcal{N}(x ; \mu, \sigma^2)$. Ayarlayabilirsiniz$\sigma^2 = r$ ve $\mu$ İstediğiniz herhangi bir değeri alabilir - $Var[X] = r$ gereğince, gerektiği gibi.

Aslında, Normal dağılım bu bakımdan oldukça özeldir çünkü belirli bir ortalama ve varyans için maksimum entropi olasılık dağılımıdır .

Bu soru onu ilginç ve tamamen önemsiz olmayan bir şekilde yorumlayabilir. Bir şey verdim$X$O bakışlar onun varyans bazı önceden belirlenmiş sayısına eşittir o şekilde (etrafında veya vardiya mevcut olasılıklar) kendi değerlerine atama olasılıklar mümkündür ne derece rastgele değişkenin gibi$r$? Cevap, tüm olası değerlerin$r\ge 0$ aralığına göre belirlenen bir sınıra kadar izin verilebilir $X$.

Böyle bir analize potansiyel ilgi, belirli bir sonuca ulaşmak için rastgele bir değişkeni sabit tutarken bir olasılık ölçüsünü değiştirme fikrinde yatmaktadır. Bu uygulama basit olmasına rağmen , matematik finansında temel bir sonuç olan Girsanov teoreminin altında yatan bazı fikirleri görüntüler .

Bu soruyu titiz, açık bir şekilde ele alalım. varsaymak

bir ölçü alanında tanımlanan ölçülebilir bir işlevdir $\Omega$ sigma-cebiri ile $\mathfrak{S}$. Belirli bir gerçek sayı için$r \gt 0$, ne zaman bir olasılık ölçüsü bulmak mümkün $\mathbb{P}$ bu alanda $\text{Var}(X) = r$?

Cevap şu ki bu mümkün olduğunda$\sup(X) - \inf(X) \gt 2\sqrt{r}$. (Eşitlik, hem supremum hem de infimum'a ulaşılırsa geçerli olabilir: yani, aslında maksimum ve minimum$X$.) İkisinden biri $\sup(X)=\infty$ veya $\inf(X)=-\infty$, bu durum, $r$ve ardından varyansın negatif olmayan tüm değerleri mümkündür.

Kanıt yapım gereğidir. Ayrıntılara dikkat etmek ve temel fikri tespit etmek ve daha sonra gerçek yapıya geçmek için basit bir sürümü ile başlayalım.

1. İzin Vermek $x$ suretinde olmak $X$: bu bir $\omega_x\in\Omega$ hangisi için $X(\omega_x) = x$. Set fonksiyonunu tanımlama$\mathbb{P}:\mathfrak{S}\to [0,1]$ göstergesi olmak $\omega_x$: yani, $\mathbb{P}(A) = 0$ Eğer $\omega_x\notin A$ ve $\mathbb{P}(A) = 1$ ne zaman $\omega_x\in A$.

   Dan beri $\mathbb{P}(\Omega)=1$, açıkçası $\mathbb P$ilk iki olasılık aksiyomunu karşılar . Üçüncüyü tatmin ettiğini göstermek gerekir; yani sigma katkısıdır. Ancak bu neredeyse açıktır: ne zaman$\{E_i, i=1, 2, \ldots\}$ sonlu veya sayıca sınırsız olarak birbirini dışlayan olaylar dizisidir. $\omega_x$--bu durumda $\mathbb{P}(E_i)=0$ hepsi için $i$--veya tam olarak bunlardan biri $\omega_x$, bu durumda $\mathbb{P}(E_j)=1$ özellikle $j$ ve aksi halde $\mathbb{P}(E_i)=0$ hepsi için $i\ne j$. Her iki durumda da

   $$\mathbb{P}\left(\cup_i E_i\right) = \sum_i \mathbb{P}(E_i)$$

   çünkü her iki taraf da her ikisi de $0$ ya da her ikisi de $1$.

   Dan beri $\mathbb{P}$ tüm olasılığı $\omega_x$, dağılımı $X$ konsantre $x$ ve $X$ sıfır varyansa sahip olmalıdır.

2. İzin Vermek $x_1 \le x_2$ aralığında iki değer olmak $X$; yani,$X(\omega_1) = x_1$ ve $X(\omega_2) = x_2$. Önceki adıma benzer bir şekilde, bir hesaplama tanımlayın$\mathbb{P}$ göstergelerinin ağırlıklı ortalaması olmak $\omega_1$ ve $\omega_2$. Use non-negative weights $1-p$ and $p$ for $p$ to be determined. Just as before, we find that $\mathbb{P}$--being a convex combination of the indicator measures discussed in (1)--is a probability measure. The distribution of $X$ with respect to this measure is a Bernoulli$(p)$ distribution that has been scaled by $x_2-x_1$ and shifted by $-x_1$. Because the variance of a Bernoulli$(p)$ distribution is $p(1-p)$, the variance of $X$ must be $(x_2-x_1)^2p(1-p)$.

An immediate consequence of (2) is that any $r$ for which there exist $x_1 \le x_2$ in the range of $X$ and $0 \le p \lt 1$ for which

can be the variance of $X$. Since $0 \le p(1-p) \le 1/4$, this implies

with equality holding if and only if $X$ has a maximum and minimum.

Conversely, if $r$ exceeds this bound of $(\sup(X)-\inf(X))^2/4$, then no solution is possible, since we already know that the variance of any bounded random variable cannot exceed one-quarter the square of its range.

Yes, it's possible to find such distribution. In fact you can take any distribution with a finite variance, and scale to match your condition, because

For instance, a uniform distribution on interval $[0,1]$ has variance:

In fact, this is a common way to add parameters to some distributions, such as Student t. It has only one parameter, $\nu$ - degrees of freedom. When $\nu\to\infty$ the distribution converges to a standard normal. It is bell shaped, and looks a lot like normal, but has fatter tails. That's why it's often used as an alternative to a normal distribution when the tails are fat. The only problem is that Gaussian distribution has two parameters. So, comes the scaled version of Student t, which is sometimes called "t location scale" distribution. This a very simple transformation: $\xi=\frac{t-\mu}{s}$, where $\mu,s$ are location and scale. Now, you can set the scale so that the new variable $\xi$ will have any required variance, and will have a shape of Student t distribution.