Rastgele yürüyüşün varyansı neden artıyor?

Rasgele yürüyüş olarak tanımlanır , beyaz gürültüdür. Mevcut pozisyonun bir önceki pozisyonun + öngörülemeyen bir terimin toplamı olduğunu gösterir.$Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$$e_t$

Ortalama işlevinin olduğunu ispatlayabilirsiniz , çünkü$\mu_t = 0$$E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

Fakat neden varyansın zamanla doğrusal olarak artması?

Bunun, yeni pozisyon bir öncekiyle çok ilişkili olduğu için, "saf" rastgele olmayanla bir ilgisi var mı?

DÜZENLE:

Şimdi büyük bir rasgele yürüyüş örneğini görselleştirerek çok daha iyi bir anlayışa sahibim ve burada genel varyansın zamanla arttığını kolayca görebiliyoruz ,

ve ortalama sıfır civarında beklendiği gibidir.

Belki de sonuçta önemsizdi, çünkü zaman serisinin ilk aşamalarında (zaman = 10, 100 ile karşılaştır) rastgele yürümeye başlayanların henüz keşfedilecek zamanı olmadı.

Kısacası, bir sonraki artışların varyansını, şu anda bulunduğumuz noktaya ulaşmak için sahip olduğumuz değişkenliğe eklemeye devam ediyor.

$\text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ ... +e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +... +\text{Var}(e_t)$ (bağımsızlık)
$\qquad\quad\;\;= \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2=t\sigma^2\,,$

ve ile doğrusal olarak arttığını görebiliriz .$t\sigma^2$$t$

Ortalama her zaman noktasında sıfırdır; Seriyi birçok kez simüle ettiyseniz ve belirli bir süre boyunca seri boyunca ortalaması aldıysanız, 0'a yakın bir değere ortalama gelir.

$\quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }}$
$\quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t}\,.}$

İşte bunu hayal etmenin bir yolu. Basitleştirmek şeyler için, senin beyaz gürültü yerine izin bir yazı tura ile$e_i$$e_i$

bu sadece görselleştirmeyi basitleştirir, değişim hakkında hayal gücümüzün zorlanmasını kolaylaştırmaktan başka hiçbir temel şey yoktur.

Şimdi, bozuk para birliği ordusunu topladığınızı varsayalım. Onların talimatı, emrinizde, yazı turalarını çevirmek ve önceki sonuçlarının toplamının yanı sıra, sonuçlarının ne olduğuna dair çalışan bir hesap oluşturmaya devam etmektir. Her tek kanatçık rastgele yürüyüşün bir örneğidir

ve tüm ordunu toplaman, sana beklenen davranışı benimsemeli.

flip 1: Ordunun yaklaşık yarısı kafaları çeviriyor, yarıları da kuyrukları çeviriyor. Bütün ordunun karşısına geçen miktarın beklentisi sıfır. Maksimum değeri için bütün ordu boyunca ve en düşük , toplam aralık olacak şekilde .$W$$1$$-1$$2$

flip 2: Yarım yarım döner kafa ve yarım döner yazı. Bu çevirinin beklentisi bir kez daha sıfırdır, bu nedenle tüm çeviriler üzerindeki beklentisi değişmez. Ordunuzun bazıları çevrilmiş olan ve bazı diğerleri çevrilmiş maksimum yüzden, ise ve minimum ; toplam aralık .$W$$HH$$TT$$W$$2$$-2$$4$

...

flip n: Yarım yarım döner kafa ve yarım döner yazı. Bu çevirinin beklentisi tekrar sıfırdır, bu nedenle tüm çeviriler üzerindeki beklentisi değişmez, yine de sıfırdır. çok büyükse, çok şanslı bazı askerler ve diğerlerini çevirdiler . Yani, birkaç tane kafası var, birkaç tane yazı teli var (buna rağmen zaman geçtikçe daha nadir ve daha nadir oluyor). Yani, en azından hayallerimizde, toplam aralık .$W$$HH \cdots H$$TT \cdots T$$n$$n$$2n$

İşte bu düşünce denemesinde görebilecekleriniz:

• Yürüyüşte her adım dengelendiği için yürüyüşün beklentisi sıfırdır .
• Yürüyüşün toplam aralığı yürüyüşün uzunluğu ile doğrusal olarak büyür.

Sezgiyi kurtarmak için, standart sapmayı atmalı ve sezgisel ölçüdeki aralığı kullandık.

Bunun, yeni pozisyon bir öncekiyle çok ilişkili olduğu için, "saf" rastgele olmayanla bir ilgisi var mı?

"Saf" derken, bağımsız demek istediğin anlaşılıyor . Rastgele yürüyüşte sadece adımlar rastgele ve birbirinden bağımsızdır. Sizin de belirttiğiniz gibi, "pozisyonlar" rasgele fakat birbirleriyle bağlantılı , yani bağımsız değil .

$E[Y_t]=0$$Y_t$$Y_t$

$Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$

$Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$$Y_t$$\mu t$

Sezgisel bir açıklama için farklı bir örnek alalım: dart tahtası üzerinde dart atma. Bullseye nişan almaya çalışan, 0 olarak adlandırılan bir koordinat olarak kullandığımız bir oyuncumuz var. 20 cm'dir.

Oyuncudan yeni bir dart atmasını istiyoruz. Bullseye'i vurmasını bekliyor musunuz?

Hayır. Ortalama tam olarak bullseye rağmen, bir atışı örneklediğimizde, bullseye olmama ihtimali oldukça yüksektir.

$t$

Bununla birlikte, çok fazla örnek alırsak, 0 civarında ortalandığını görürüz. Dart oyuncumuzun neredeyse hiç bullseye (büyük varyans) çarpmayacağı gibi, ancak çok fazla dart atarsa, onları ortalanacaktır. bullseye çevresinde (ortalama).

Bu örneği rastgele yürüyüşe genişletirsek, ortalama 0'da kalsa bile varyansın zamanla arttığını görebiliriz. Rasgele yürüyüş durumunda, sezgisel olarak bilmenize rağmen ortalamanın 0'da kalması garip görünüyor. Neredeyse hiç bir zaman tam olarak orijinden çıkmadığı. Bununla birlikte, aynı şey bizim sevgilimiz için de geçerli: görüyoruz ki herhangi bir dart, hiçbir zaman bullseye artan bir varyansla neredeyse hiç çarpmayacak ve dart da bullseye etrafında güzel bir bulut oluşturacak - ortalama aynı kalıyor: 0.

İşte varyansın zamanla doğrusal olarak arttığı sezgisini elde etmenin bir başka yolu.

$.1\%$$1.2\%$$X$$365X$

$.1\%$$\pm .05\%$$1.2\%$$\pm .6\%$

Eh, sezgisel olarak varyansı aralık olarak düşünürsek, varyansın zaman içinde geri dönüşü ile aynı şekilde arttığının sezgisel bir anlamı vardır, bu doğrusaldır.