Bir örneğin CDF'si neden eşit olarak dağıtılır

Okumayı burada bir örnek verilmiş olduğu $X_1,X_2,...,X_n$ ED ile sürekli bir dağılımdan $F_X$ , örnek tekabül eden $U_i = F_X(X_i)$ , standart bir düzgün dağılımını izler.

Bunu Python'daki nitel simülasyonları kullanarak doğruladım ve ilişkiyi kolayca doğrulayabildim.

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

Aşağıdaki grafikte sonuç:

Plot showing the sample of a normal distribution and the cdf of the sample.

Bunun neden olduğunu kavrayamıyorum. CDF'nin tanımı ve PDF ile ilişkisi ile ilgili olduğunu varsayıyorum, ancak bir şey eksik ...

Birisi beni konuyla ilgili bir miktar okumaya yönlendirebilir veya konuyla ilgili bir sezgi almama yardım ederse çok memnun olurum.

EDIT: CDF şöyle görünür:

CDF of the sampled distribution

— Maxime Tremblay
kaynak

un cdf'sini hesaplayın .

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Zhanxiong

Bu, ters cdf simülasyon yönteminin temeli olduğundan, simülasyon hakkında herhangi bir kitapta bu özelliğin (sürekli rv'ler için) bir kanıtını bulacaksınız.

— Xi'an

Ayrıca google-ing olasılık integral dönüşümünü

— Zachary Blumenfeld

@ Xi'an Sonuç sadece rastgele değişkenler için geçerlidir. Bazen bu sonuç yanlışlıkla ayrık rasgele değişkenler için kullanılır. Öte yandan, birçok kanıtın , aynı zamanda çok güçlü bir varsayım olan

katı tekdüzeliğini varsaydığı

adımını içerdiğine dikkat edin . Aşağıdaki bağlantı bu konuyla ilgili titiz bir özet sunmaktadır: people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/generalized_inverse.pdf

P (F (X) \leq x) = P (X \leq F^{- 1} (x))

$P(F(X) \leq x) = P(X \leq F^{-1}(x))$

F

$F$

— Zhanxiong

@ Zhanxiong,

için gerekli olan tek koşul , càdlàg olmasıdır.

F

$F$

— AdamO

Yanıtlar:

Varsayalım sürekli ve artan. tanımlayın ve içindeki değerleri aldığını unutmayın . Sonra $F_X$ $Z = F_X(X)$ $Z$ $[0, 1]$

F_{Z} (x) = P (F_{X} (X) \leq x) = P (X \leq F_{X}^{- 1} (x)) = F_{X} (F_{X}^{- 1} (x)) = x .

$F_Z(x) = P(F_X(X) \leq x) = P(X \leq F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x.$

Diğer yandan, eğer değerleri alan bir düzgün rastgele değişken , $U$ $[0, 1]$

F_{U} (x) = \int_{R} f_{U} (u) d u = \int_{0}^{x} d u = x .

$F_U(x) = \int_R f_U(u)\,du =\int_0^x \,du =x.$

Böylece her için . $F_Z(x) = F_U(x)$ $x\in[0, 1]$

— Hunaphu
kaynak

Z'nin muntazam (0, 1) dağılımı olduğu anlaşılıyor mu?

— İstatistikler

Z

$Z$

(0, 1) .

$(0,1).$

$F(x)$ $F(x)$ $F$ $x$ $F^{-1}$ $x = F^{-1}(p)$ nokta $x$ arkasında hangi düşer $p$ numunenin oranı. Fonksiyonel bileşim ölçülebilir şekilde değişmeli $F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$ .

Tekdüze dağılım, yüzdelik bir işleve eşit bir kuantil fonksiyona sahip olan tek dağılımdır: bunlar kimlik fonksiyonudur. Dolayısıyla görüntü alanı olasılık alanı ile aynıdır. $F$ sürekli rasgele değişkenleri eşit ölçülerde (0, 1) bir boşlukta eşler . Herhangi iki yüzdelik dilimden beri, $a < b$ , sahibiz $P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$

— AdamO
kaynak

I struggled for hours, but finally it clicked why the derived random variable

Y = F (X)

$Y = F(X)$ is uniformly distributed. Your answer really helped, thanks a lot. It seems very much like in algebra where 1 was the multiplicative identity.

— Aditya P