Benzersiz MVUE'yu bulun

Bu soru Robert Hogg'un Matematik İstatistiklerine Giriş 6. Sürüm problemi 7.4.9 sayfa 388'den alınmıştır.

Let $X_1,...,X_n$ PDF ile istatistiksel bağımsız olarak $f(x;\theta)=1/3\theta,-\theta<x<2\theta,$ sıfır başka, burada $\theta>0$ .

(a) mle bul ait $\hat{\theta}$ $\theta$

(b) var için yeterli bir istatistik ? Neden ? $\hat{\theta}$ $\theta$

Sanırım (a) ve (b) 'yi çözebilirim, ama (c) ile kafam karıştı.

(A) için:

Let $Y_1<Y_2<...Y_n$ sipariş bir istatistik.

$L(\theta;x)=\frac{1}{3\theta}\times\frac{1}{3\theta}\times...\times\frac{1}{3\theta}=\frac{1}{(3\theta)^n}$ zaman $-\theta< y_1$ ve $y_n < 2\theta$ , başka bir yerde $L(\theta;x)=0$

$\frac{dL(\theta;x)}{d\theta}=-n(3\theta)^{n-1}$ , $\theta>0$ olduğundan bu türevin negatif olduğunu görebiliriz,

böylece olasılık fonksiyonu azalmaktadır. $L(\theta;x)$

Kaynaktan ve , ve $(-\theta< y_1$ $y_n < 2\theta)$ $\Rightarrow$ $(\theta>-y_1$ $\theta>y_n/2), \Rightarrow \theta>max(-y_1,y_n/2)$

, bu nedenle zaman azalmaktadır beri samllest değere sahip olabilirlik fonksiyonu maksimum elde edecek , zaman , olabilirlik fonksiyonu maksimum değere ulaşacaktır. $L(\theta,x)$ $\theta$ $\theta>max(-y_1,y_n/2)$ $\theta=max(-y1,y_n/2)$

$\therefore$ $\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

(B) için:

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(max(x_i)<2\theta)\times 1$

$\therefore$ çarpanlara ayırma teoremiyle, için yeterli bir istatistiktir . Bu nedenle, de yeterli bir istatistiktir $y_n=max(x_i)$ $\theta$ $y_n/2$

Samely,

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(min(x_i)>-\theta)\times 1$

$\therefore$ , çarpanlara ayırma teoremiyle, için yeterli bir istatistiktir . Bu nedenle, de yeterli bir istatistiktir. $y_1=min(x_i)$ $\theta$ $-y_1$

İlk olarak, CDF'sini buluyoruz $X$

$F(x)=\int_{-\theta}^{x}\frac{1}{3\theta}dt=\frac{x+\theta}{3\theta},-\theta<x<2\theta$

Sonra, her ikisi için pdf bulabilirsiniz ve sipariş istatistikleri için kitabın formülünden. $Y_1$ $Y_n$

$f(y_1)=\frac{n!}{(1-1)!(n-1)!}[F(y_1)]^{1-1}[1-F(y_1)]^{n-1}f(y_1)=n[1-\frac{y_1+\theta}{3\theta}]^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

Samely,

$f(y_n)=n(\frac{y_n+\theta}{3\theta})^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

Sonra, ve için pdf ailesinin tamlığını göstereceğiz $f(y_1)$ $f(y_n)$

$E[u(Y_1)]=\int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=0 \Rightarrow \int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)(2\theta-y_1)dy_1=0$ . By Gösterebileceğimiz (integrali eldesi) herkes için . $FTC$ $u(\theta)=0$ $\theta>0$

Bu nedenle, pdf ailesi tamamlandı .. $Y_1$

Samely, yine de tarafından , pdf ailesinin tamamlandığını . $FTC$ $Y_n$

Sorun şu ki, in tarafsız olduğunu göstermemiz gerekiyor. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

Ne zaman $\hat{\theta}=-y_1$

$E(-y_1)=\int_{-\theta}^{2\theta}(-y_1)\frac{n}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_1d(2\theta-y_1)^n$

İntegrali parçalara bölerek çözebiliriz

$E(-y_1)=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_1(2\theta-y_1)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(2\theta-y_1)^ndy_1]=\frac{1}{(3\theta)^n}[\theta (3\theta)^n-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{(n-2)\theta}{n+1}$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(-y_1)=\frac{n+1}{n}\frac{(n-2)\theta}{n+1}=\frac{n-2}{n}\theta$

Bu nedenle, değildir tarafsız bir tahmin zaman $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

Tüm $\hat{\theta}=y_n/2$

$E(Y_n)=\int_{-\theta}^{2\theta}y_n\frac{n}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}dy_n=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_nd(y_n+\theta)^n=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_n(y_n+\theta)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(y_n+\theta)^ndy_n]=\frac{1}{(3\theta)^n}[2\theta(3\theta)^-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=2\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{2n-1}{n+1}\theta$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(Y_n/2)=\frac{n+1}{2n}E(Y_n)=\frac{n+1}{2n}\frac{2n-1}{n+1}\theta=\frac{2n-1}{2n}\theta$

Yine de, tarafsız bir tahmin değildir zaman $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$

Ancak kitabın cevabı benzersiz bir MVUE. Önyargılı bir tahmin ediciyse neden bir MAVİ olduğunu anlamıyorum. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

Ya da benim hesaplamalarım yanlış, lütfen hataları bulmama yardım et, sana daha ayrıntılı hesaplamalar verebilirim.

Çok teşekkür ederim.

— Derin Kuzey
kaynak

dağılımının herhangi bir hesaplamasını görmüyorum .

\hat{θ}

$\hat\theta$

— whuber

Teşekkürler, whuber, . Ya olduğunu veya tek ve daha büyük olduğu bağlıdır. Ben hem dağılımları hesaplanmış ve . Görebilirsiniz ve .

\hat{θ} = m a x (- y_{1}, y_{n} / 2)

$\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

- y_{1}

$-y_1$

y_{n} / 2

$y_n/2$

y_{1}

$y_1$

y_{n}

$y_n$

f (y_{1}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (2 θ - y_{1})^{n - 1}

$f(y_1)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

f (y_{n}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (y_{n} + θ)^{n - 1}

$f(y_n)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

— Deep North

Ve yukarıdaki iki dağılımdan ve sonra

E (\hat{θ}) = E (- Y_{1})

$E(\hat{\theta})=E(-Y_1)$

E (\hat{θ}) = E (Y_{n} / 2)

$E(\hat{\theta})=E(Y_n/2)$

E (\frac{n + 1}{n} \hat{θ})

$E(\frac{n+1}{n}\hat{\theta})$

— Deep North

Ekstrema ile çalışmak bakım gerektirir, ancak zor olmak zorunda değildir. Direğin ortasına yakın bulunan kritik soru,

... nin tarafsız olduğunu göstermeliyiz. $\frac{n+1}{n}{\hat \theta}^{n}$

Daha önce elde ettiniz

\hat{θ} = max (- y_{1}, y_{n} / 2) = max {- min {y_{i}}, max {y_{i}} / 2} .

$\hat\theta = \max(-y_1, y_n/2) = \max\{-\min\{y_i\}, \max\{y_i\}/2\}.$

Bu dağınık görünse de , birikimli dağılım işlevi düşündüğünüzde hesaplamalar temel olur . Buna başlamak için olduğuna dikkat edin . Let bu aralıkta bir sayı. Tanım olarak, $F$ $0\le \hat\theta \le \theta$ $t$

\begin{aligned} F (t) & = Pr (\hat{θ} \leq t) \\ = Pr (- y_{1} < t and y_{n} / 2 \leq t) \\ = Pr (- t \leq y_{1} \leq y_{2} \dots \leq y_{n} \leq 2 t) . \end{aligned}

$\eqalign{ F(t) &= \Pr(\hat\theta\le t) \\&= \Pr(-y_1 \lt t\text{ and }y_n/2 \le t) \\ &= \Pr(-t \le y_1 \le y_2 \cdots \le y_n \le 2t). }$

Bu, tüm değerlerinin ve arasında olma . Bu değerler uzunluğunda bir aralığı . Dağıtım tekdüze olduğundan, belirli bir bu aralıkta yer alma olasılığı uzunluğuyla orantılıdır: $n$ $-t$ $2t$ $3t$ $y_i$

Pr (y_{i} \in [- t, 2 t]) = \frac{3 t}{3 θ} = \frac{t}{θ} .

$\Pr(y_i \in [-t, 2t]) = \frac{3t}{3\theta} = \frac{t}{\theta}.$

Çünkü bağımsızdır, bu olasılıklar çarpın, veren $y_i$

F (t) = {(\frac{t}{θ})}^{n} .

$F(t) = \left(\frac{t}{\theta}\right)^n.$

Beklenti hemen hayatta kalma fonksiyonunu entegre bulunabilir için olası değerler aralığı boyunca , kullanılarak değişken için: $1-F$ $\hat\theta$ $[0, \theta]$ $y=t/\theta$

E (\hat{θ}) = \int_{0}^{θ} (1 - {(\frac{t}{θ})}^{n}) d t = \int_{0}^{1} (1 - y^{n}) θ d y = \frac{n}{n + 1} θ .

$\mathbb{E}(\hat\theta) = \int_0^\theta \left(1 - \left(\frac{t}{\theta}\right)^n\right)dt = \int_0^1 (1-y^n)\theta dy = \frac{n}{n+1}\theta.$

(Beklenti için bu formül, parçalarla entegrasyon yoluyla olağan integralden türetilmiştir . Ayrıntılar https://stats.stackexchange.com/a/105464 sonunda verilmiştir .)

Tarafından yeniden ölçeklendirilmesi verir $(n+1)/n$

E (\frac{n + 1}{n} \hat{θ}) = θ,

$\mathbb{E}\left(\frac{n+1}{n}\,{\hat \theta}\right) = \theta,$

QED .

— whuber
kaynak

Son formül için bir yazım hatası var, değil

\hat{θ}

$\hat \theta$

{\hat{θ}}^{n}

$\hat \theta^n$

— Deep North

@Derin Oh, elbette! Bunu işaret ettiğiniz için teşekkür ederim. Şimdi düzeltildi.

— whuber

Benzersiz MVUE'yu bulun

Sanırım (a) ve (b) 'yi çözebilirim, ama (c) ile kafam karıştı.

Sorun şu ki, in tarafsız olduğunu göstermemiz gerekiyor.(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}

Bu nedenle, değildir tarafsız bir tahmin zaman(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=−y1θ^=−y1\hat{\theta}=-y_1

Yine de, tarafsız bir tahmin değildir zaman(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=yn/2θ^=yn/2\hat{\theta}=y_n/2

Ancak kitabın cevabı benzersiz bir MVUE. Önyargılı bir tahmin ediciyse neden bir MAVİ olduğunu anlamıyorum.(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}

Sorun şu ki, in tarafsız olduğunu göstermemiz gerekiyor. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

Bu nedenle, değildir tarafsız bir tahmin zaman $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

Yine de, tarafsız bir tahmin değildir zaman $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$

Ancak kitabın cevabı benzersiz bir MVUE. Önyargılı bir tahmin ediciyse neden bir MAVİ olduğunu anlamıyorum. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$