Negatif Binom Dağılımı için Maksimum Olabilirlik Tahmincisi

Soru şudur:

K = 3 parametresi ile negatif bir binom dağılımından rastgele bir n değeri örneği toplanır.

Π parametresinin maksimum olabilirlik tahmincisini bulun.

Bu tahmin edicinin standart hatası için bir asimtotik formül bulun.

K parametresi yeterince büyükse, negatif binom dağılımının neden normal olacağını açıklayın. Bu normal yaklaşımın parametreleri nelerdir?

Çalışmam şuydu:
1. İstenen bu gibi hissediyorum ama burada doğru olup olmadığımdan emin değilim ya da sağlanan bilgiler göz önüne alındığında bunu daha fazla alabilir miyim?

p (x) = (\binom{x - 1}{k - 1}) π^{k} (1 - π)^{x - k} L (π) = Π_{i}^{n} p (x_{n} | π) ℓ (π) = Σ_{i}^{n} \ln (p (x_{n} | π)) ℓ ‘ (π) = Σ_{i}^{n} \frac{k}{π} - \frac{(x - k)}{(1 - π)}

$p(x) = {x-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x-k}\\ L(\pi) = \Pi_i^n p(x_n|\pi)\\ \ell(\pi) = \Sigma_i^n\ln(p(x_n|\pi))\\ \ell`(\pi) = \Sigma_i^n\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x-k)}{(1-\pi)}$

Bence aşağıdakiler isteniyor. Son bölüm için $\hat{\pi}$ yerine $\dfrac{k}{x}$
$ℓ ‘ ‘ (\hat{π}) = - \frac{k}{{\hat{π}}^{2}} + \frac{x}{(1 - \hat{π})^{2}} s e (\hat{π}) = \sqrt{- \frac{1}{ℓ ‘ ‘ (\hat{π})}} s e (\hat{π}) = \sqrt{\frac{{\hat{π}}^{2}}{k} - \frac{(1 - \hat{π})^{2}}{x}}$ $\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$
Bunu nasıl kanıtlayacağımdan emin değilim ve hala araştırıyorum. Herhangi bir ipucu veya faydalı bağlantı büyük takdir edilecektir. Negatif bir binom dağılımının geometrik dağılımların bir koleksiyonu veya bir binom dağılımının tersi olarak görülebileceği gerçeğiyle ilgili olduğunu hissediyorum, ancak nasıl yaklaşacağından emin değilim.

Herhangi bir yardım çok takdir edilecektir

self-study maximum-likelihood negative-binomial

— Syzorr
kaynak

(1) Maksimum olabilirlik tahmini bulmak için, günlük olabilirlik işlevinin maksimum değerine ulaştığı yeri bulmanız gerekir. Skoru hesaplamak (log-olasılık fonksiyonunun göre ilk türevi ) bir başlangıçtır - bu maksimumda hangi değeri alacaktır? (Ve tahmin etmenize gerek olmadığını unutmayın .)

\hat{π}

$\hat \pi$

π

$\pi$

k

$k$

— Scortchi - Monica'nın eski durumuna

Maksimum olasılığın anlaşılması için log-olasılık = 0 türevini eklemeyi unuttum. Bunu doğru bir şekilde yayınlamadan sonra hala üzerinde çalışıyorum), sahip olduğum şey

\frac{k}{π} - \frac{Σ_{i = 0}^{n} (x_{i} - k)}{(1 - π)} = 0

$\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{\Sigma_{i=0}^n(x_i-k)}{(1-\pi)} = 0$

— Syzorr

Kendinize iyi bakın:Ayrıca başlar başlar unutmayın .

\sum_{i = 1}^{n} \frac{k}{π} - \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - k)}{(1 - π)} = ?

$\sum_{i=1}^n \frac{k}{\pi} - \sum_{i=1}^n{\frac{(x_i-k)}{(1-\pi)}} = \ ?$

i

$i$

— Scortchi - Reinstate Monica

(2) 'de, nadiren bir farkın karşılıklılığının karşılıklılık farkı olduğu durumdur. Bu hata , için son formülünüzü büyük ölçüde etkiler .

s e (\hat{π})

$se(\hat\pi)$

— whuber

$p(x) = {x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}$

$L(\pi;x_i) = \prod_{i=1}^{n}{x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}\\$

$\ell(\pi;x_i) = \sum_{i=1}^{n}[log{x_i-1 \choose k-1}+klog(\pi)+(x_i-k)log(1-\pi)]\\ \frac{d\ell(\pi;x_i)}{d\pi} = \sum_{i=1}^{n}[\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x_i-k)}{(1-\pi)}]$

Bunu sıfıra ayarlayın,

$\frac{nk}{\pi}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i-nk}{1-\pi}$

$\therefore$ $\hat\pi=\frac{nk}{\sum_{i=1}^nx}$

İkinci bölüm için , burada balıkçı bilgisidir. Bu nedenle, standart sapması olacaktır . Veya burada CLT kullandığınız için standart hata olarak adlandırırsınız. $\sqrt{n}(\hat\theta-\theta) \overset{D}{\rightarrow}N(0,\frac{1}{I(\theta)})$ $I(\theta)$ $\hat\theta$ $[nI(\theta)]^{-1/2}$

Bu yüzden negatif binom dağılımı için Fisher bilgilerini hesaplamamız gerekiyor.

$\frac{\partial^2 \log(P(x;\pi))}{\partial\pi^2}=-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2}$

$I(\theta)=-E(-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2})=\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi}$

Not: Negatif binom pmf için $E(x) =\frac{k}{\pi}$

Bu nedenle, standart bir hata olan $\hat \pi$ $[n(\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi})]^{-1/2}$

Sadeleştirirsek $se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

Geometrik dağılım, k = 1 olduğunda özel bir negatif binom dağılımı örneğidir. Not geometrik dağılımdır $\pi(1-\pi)^{x-1}$

Bu nedenle, negatif binom değişken k bağımsız, özdeş dağılmış (geometrik) rasgele değişkenlerin toplamı olarak yazılabilir.

Dolayısıyla CLT ile k parametresi yeterince büyükse negatif binom dağılımı yaklaşık normal olacaktır

— Derin Kuzey
kaynak

Lütfen burada hangi konular hakkında soru sorabilirim? Kendi kendine çalışma soruları hakkında: insanların kendileri için ödevlerini yapmak yerine, kendileri yapmalarına yardımcı olmaya çalışıyoruz.

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün

Sen do örnek hacmi dikkate almak gerekir MLE hesaplarken. bağımsız gözlemin bir hesabını karıştırıyor olabilirsiniz , her biri hayır. başarısızlıklarına ( ) ulaşmak için gereken denemelerin no. başarısızlığına ulaşmak için gereken denemelerin yüzdesi ( ). İlki ; ikincisi, .

n

$n$

n

$n$

k

$k$

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

k

$k$

n

$n$

\sum_{i = 1}^{n} π^{(} 1 - π)^{x_{i} - k}

$\sum_{i=1}^n{\pi^(1-\pi)^{x_i-k}}$

π^{k} (1 - π)^{n - k}

$\pi^k(1-\pi)^{n-k}$

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün

Haklısın, ben her zaman bu konuda kafa karıştırıyorum. Çok teşekkür ederim. Ayrıca bu tahtada birçok soru soruyorum, ama umarım insanlar bana çok ayrıntılı bir cevap verebilir, o zaman bunu kendim adım adım çalışabilirim.

— Deep North

Evet. Neden çok fazla ayrıntı vermeme kuralının olduğunu anlıyorum, ancak bu cevap, konferanstaki kendi notlarım ile birleştiğinde, birçok gevşek ucu birbirine bağlamamı sağladı. Ondan açıklama alabilmek için bugün öğretim görevlime bununla ilgili konuşmaya niyetliyim. Bugün Cuma. Ödev Pazartesi günü yukarıda belirtildiği gibi yapılacaktır. Bunu Çarşamba günü öğrendik ve binom dağılımı kullanarak sadece tek bir örneğimiz var. Detay için çok teşekkürler.

— Syzorr

Orada çalışmanızda bazı hatalar var çünkü ben (θ) = E [] -E [] değil (kullandığınız denklemleri aramaya kadar beni karıştırıyor) Sonunda ile sonuçlandı

s e (π) = \sqrt{\frac{π^{2} (π - 1)}{k n}}

$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

— Syzorr