Normal dağılımda x'in beklenen değeri, belirli bir değerin altında olması VERİLİR

Belirli bir değerin altında (örneğin, ortalama değerin altında) göz önüne alındığında, normal dağıtılmışsa x'in Beklenen değerini bulmanın mümkün olup olmadığını merak etmektir.

normal-distribution conditional-probability expected-value

— Yasemin
kaynak

Elbette mümkün. Minimum olarak kaba kuvvet hesaplayabilirsiniz . Veya ve biliyorsanız bir simülasyon kullanarak tahmin edebilirsiniz.

F (t)^{- 1} \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(t)^{-1} \int_{- \infty}^{x} t f(t) dt$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— dsaxton

@dsaxton Bu formülde bazı yazım hataları var, ama fikri anlıyoruz. Merak ettiğim şey, eşik ortalamanın çok altında olduğunda simülasyonu tam olarak nasıl çalıştıracağınızdır.

— whuber

@whuber Evet olmalıdır . sıfıra yakın olduğunda bir simülasyon yapmak çok akıllıca olmaz , ancak işaret ettiğiniz gibi yine de kesin bir formül var.

F (t)

$F(t)$

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— dsaxton

@dsaxton Tamam, yeterince adil. Sadece normal bir dağılımın kuyruğundan simüle etmek için bir tür zeki ve basit bir fikriniz olduğunu umuyordum.

— whuber

Math.SE'de aşağı yukarı aynı soru: math.stackexchange.com/questions/749664/average-iq-of-mensa

— JiK

Yanıtlar:

Ortalama ve varyans olan normal olarak dağıtılmış bir değişkeni aynı dağılıma sahiptir, burada standart bir normal değişkendir. hakkında bilmeniz gereken tek şey $X$ $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma Z + \mu$ $Z$ $Z$

birikimli dağıtım işlevine denir , $\Phi$
olasılık yoğunluğu fonksiyonu 'dir ve $\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
$\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$ .

İlk iki madde sadece gösterim ve tanımlardır: üçüncüsü, ihtiyacımız olan normal dağılımların tek özel özelliğidir.

"Belli bir değer" . Gelen değişimi önceden için tanımlamak $T$ $X$ $Z$

t = (T - μ) / σ,

$t = (T-\mu)/\sigma,$

Böylece

Pr (X \leq T) = Pr (Z \leq t) = Φ (t) .

$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$

Ardından, koşullu beklentinin tanımından başlayarak elde etmek için doğrusallığından faydalanabiliriz.

\begin{aligned} E (X | X \leq T) & = E (σ Z + μ | Z \leq t) = σ E (Z | Z \leq t) + μ E (1 | Z \leq t) \\ = (σ \int_{- \infty}^{t} z ϕ (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} ϕ (z) d z) / Pr (Z \leq t) \\ = (- σ \int_{- \infty}^{t} ϕ^{'} (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} Φ^{'} (z) d z) / Φ (t) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$

Analizin Temel Teoremi, bir türevin herhangi bir integralinin, son noktalardaki fonksiyonun değerlendirilmesiyle bulunduğunu ileri sürer: . Bu, her iki integrale de uygulanır. Her iki yana ve de sıfır olmalıdır , biz elde $\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$ $\Phi$ $\phi$ $-\infty$

E (X | X \leq T) = μ - σ \frac{ϕ (t)}{Φ (t)} .

$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$

Orijinal ortalama eksi Ters Değirmen Oranı ile orantılı bir düzeltme terimidir .

Beklediğimiz gibi, için ters Mills oranı pozitif olmalı ve değerini aşmalıdır (grafiği noktalı kırmızı bir çizgi ile gösterilmektedir). Bu aşağı doğru azalmak zorunda olarak daha sonra kesme için, büyük büyür (ya da ) hemen hemen hiçbir şey değiştirir. Olarak çok olumsuz büyür, Mills ters orantı yaklaşmalıdır , çünkü hemen hemen tüm sol kuyruk olasılığı (onun sağ kenarına yakın konsantre edildi, böylece hızlı normal dağılım azalma kuyrukları ). $t$ $-t$ $0$ $t$ $Z=t$ $X=T$ $t$ $-t$ $t$

Son olarak, ortalama olduğunda, ters Oranı eşit olduğunda . Bu beklenen değer anlamına gelir (bir negatif olan, buna ait ortalama kesilmiş, yarı normal dağılım ), bir katı standart sapma orijinal ortalama altında. $T = \mu$ $t=0$ $\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$ $X$ $-\sqrt{2/\pi}$

— whuber
kaynak

Genel olarak, dağıtım fonksiyonu . $X$ $F(X)$

Biz, bilgisi , , örneğin, alınarak özel durumlarda elde edilebilir verir, . $x\in[c_1,c_2]$

\begin{array}{rcl} P (X \leq x | c_{1} \leq X \leq c_{2}) & = & \frac{P (X \leq x \cap c_{1} \leq X \leq c_{2})}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} = \frac{P (c_{1} \leq X \leq x)}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} \\ = & \frac{F (x) - F (c_{1})}{F (c_{2}) - F (c_{1})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$

c_{1} = - \infty

$c_1=-\infty$

F (c_{1}) = 0

$F(c_1)=0$

Koşullu cdfs kullanarak koşullu beklentiler için kullanılabilecek koşullu yoğunluklara (örneğin, için ) sahip olabilirsiniz. $f(x|X<0)=2\phi(x)$ $X\sim N(0,1)$

Örnekte, kısmi integrasyon verir @ whuber yanıtında gibi.

E (X | X < 0) = 2 \int_{- \infty}^{0} x ϕ (x) = - 2 ϕ (0),

$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$

— Christoph Hanck
kaynak

+1 (bir şekilde ilk ortaya çıktığında bunu kaçırdım). İlk bölüm, kesikli dağıtım fonksiyonlarının nasıl elde edileceğine dair mükemmel bir açıklama ve ikincisi PDF'lerinin nasıl hesaplanacağını gösterir.

— whuber