Bir sekansın kanıtlanması azalır (çok sayıda pts çizilerek desteklenir)

Geçen ay SE'ye gönderdiğim soruların çoğu, bu sorunu çözmeme yardımcı olma hedefindeydi. Tüm sorular cevaplandı, ama yine de bir çözüm bulamıyorum. Bu yüzden, doğrudan çözmeye çalıştığım soruyu sormam gerektiğini düşündüm.

Let , , , (tam sayı) ve her üzerinde ED olan . $X_n \sim F_n$ $F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$ $F_0 = x$ $c\geq 2$ $F_n$ $(0,1)$

Ben tüm (hatta herhangi bir ) ile azaldığını kanıtlamak istiyorum ! I gösterebilir bu özgü çözelti bir Dirac kütlesine yakınsak için , . Artırmak için CDFS bir arsa bakarken 'aynı yönelik s , tüm cdfs de çapraz . Değeri değerleri için azalır az değerleri için ve artar tan daha büyük $\mathbb{E}X_n$ $n$ $c$ $c$ $F_n$ $x_c = (1-(1-x)^c)^c)$ $c=2$ $x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$ $n$ $c$ $x_n$ $F(x)$ $x$ $x_n$ $x$ $x_n$ ( arttıkça) dikey bir çizgiye . $n$ $x_n$

Aşağıda, ila için ila için çizimi bulunmaktadır . Tabii ki ayrı bir komplo, ancak görüntüleme kolaylığı için birleştirilmiş çizgiler var. Bu grafiği oluşturmak için, Mathematica'da NIntegrate kullandım, ancak üzerinde yapmam gerekiyordu , çünkü bazı nedenlerden dolayı Mathematica , orijinal işlev için yüksek değerleri üzerinde cevaplar üretemedi . İkisi Young teoremine göre eşdeğer olmalıdır, . Benim durumumda, , . $\mathbb{E}X_n$ $n = 1$ $40$ $c = 2$ $7$ $1-F^{-1}_n$ $n$ $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ $F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$ $F^{-1}_n = x$

resim açıklamasını buraya girin

Gördüğünüz gibi, sabit noktası bir dakika mesafesine çok hızlı hareket eder . As arttıkça, sabit nokta azalır (sonunda 0'a gidecektir). $EX_n$ $x_c$ $c$

Durumda, elbette o gerçek olamayacak kadar GÖRÜNÜYOR ile azalır herkes için . Ama kanıtlayamıyorum. Biri bana yardım edebilir mi? (yine, sadece tek bir ile biraz mutlu olurum ) Ve eğer yapamıyorsanız, ancak bu sorunun neden çözülemediğine dair bir fikriniz varsa, lütfen bu görüşü de paylaşın. $EX_n$ $n$ $c$ $c$

— OctaviaQ
kaynak

yazmayı düşündünüz, böylece ? Endüktif bir kanıt ya da bir çelişki kolayca erişilebilir olabilir.

Z n = E X_{n} - E X_{n - 1}

$Zn = EX_n - EX_{n-1}$

— Iterator

@Iterator: (ÇOK) denedim ama başarılı olamadım.

— OctaviaQ

Evet. +1 ve önceki yorumumu sildim.

— finnw

@Jand: Maalesef şu an için kanıt talebimi geri çekmek zorunda kalacağım. Henüz yamalayamayacağım bir delik buldum. Özür. Bir şey göndermeden önce daha dikkatli olmalıydım. Birkaç farklı kez kontrol ettim, ancak bu son kez geçene kadar sorunu bulamadım.

— kardinal

@Jand: Matematikte çok benzer (ama biraz farklı) bir sorunuz var . Aslında ikisiyle mi yoksa sadece biriyle mi ilgileneceğinizi ve nedenini açıklığa kavuşturabilir misiniz?

— kardinal

Bu Pietro Majer tarafından MO üzerinde yanıtlandı burada .

— OctaviaQ
kaynak