İki bağımsız normal rastgele değişkenin maksimum (minimum) dağılımı nedir?

Spesifik olarak, ve normal rastgele değişkenler olduğunu varsayalım (bağımsız ancak zorunlu olarak aynı şekilde dağıtılmamış). Herhangi bir özel verildiğinde , veya benzer kavramlar için güzel bir formül var mı? \ Max (X, Y) ' nin normal olarak dağıldığını, belki X ve Y için ortalama ve standart sapma formülü olduğunu biliyor muyuz ? Her zamanki yerleri (wikipedia, google) kontrol ettim ama bir şey bulamadım.$X$$Y$$a$$P(\max(X,Y)\leq x)$$\max(X,Y)$$X$$Y$

Özdeş olmayan iki Normalin maksimum değeri, Azzalini eğriliği-Normal dağılımı olarak ifade edilebilir. Örneğin bkz. Balakrishnan'ın 2007 tarihli bir çalışma belgesi / sunumu

İki Değişkenli ve Çok Değişkenli Düzen İstatistiklerine Çarpık Bir Bakış
Prof. N. Balakrishnan
Çalışma belgesi / sunumu (2007)

Son zamanlarda ( Nadarajah ve Kotz - burada görüntülenebilir ) makalesi max nin bazı özelliklerini vermektedir :$(X,Y)$

Nadarajah, S. ve Kotz, S. (2008), "İki Gauss Rasgele Değişkenin Max / Min Kesin Dağılımı", ÇOK BÜYÜK ÖLÇEK ENTEGRASYONU (VLSI) SİSTEMLERİNDE IEEE İŞLEMLERİ, VOL. 16, HAYIR. 2, ŞUBAT 2008

Daha önceki çalışmalar için bakınız:

AP Basu ve JK Ghosh, “Rekabetçi riskler modeli altında çok uluslu ve diğer dağılımların tanımlanabilirliği”, J. Multivariate Anal., Cilt. 8, sayfa 413–429, 1978

HN Nagaraja ve NR Mohan, “Sistem yaşam dağılımının bağımsızlığı ve başarısızlık nedeni üzerine,” İskandinav Aktüeryal J., s. 188-198, 1982.

YL Tong, Çok Değişkenli Normal Dağılım. New York: Springer-Verlag, 1990.

Hesaplamayı otomatikleştirmek için bir bilgisayar cebir sistemi de kullanılabilir. Örneğin, pdf ile ve pdf ile :$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$f(x)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$g(y)$

... nin :$Z = max(X,Y)$

nerede kullanıyorum Maximumdan işlevini mathStatica paketi Mathematica ve Erfhata fonksiyonunu ifade eder.

Önceki cevaplarda en ilginç özellikten bahsetmiyorum: maksimum için kümülatif olasılık dağılımı, ilgili kümülatif olasılık dağılımlarının ürünüdür.