Mahkum paradoksu

11

Bana bir egzersiz verildi ve bunu tam olarak anlayamıyorum.

Mahkum Paradoksu
Hücre hapsinde üç mahkum olan A, B ve C aynı gün ölüm cezasına çarptırıldı, ancak ulusal bir tatil olduğu için vali affedileceğine karar verdi. Mahkumlar bu konuda bilgilendirilir ancak infaz için planlanan güne kadar hangilerinin bağışlanacağını bilmeyecekleri söylenir.

Mahkum A, hapishaneye “Diğer iki mahkumun en az birinin infaz edileceğini zaten biliyorum, bu yüzden bana infaz edilecek kişinin adını söylerseniz, kendi infazım hakkında herhangi bir bilgi vermeyeceksiniz” .

Hapishane bunu kabul eder ve C'nin kesinlikle öleceğini söyler.

O zaman nedenler: “C'nin idam edileceğini bilmeden önce affedilebilir bir şansım vardı. Şimdi ya B'nin ya da kendimin affedileceğini biliyorum. Oranlar 2'de 1'e yükseldi. ”

Ancak hapishane, “B'nin öleceğini söylemiş olsaydım, benzer bir sonuca ulaşmış olabilirsiniz ve B ya da C'ye cevap vermek zorunda kaldım, neden sormanız gerekiyordu?”.

A'nın affedilme şansı nedir ve neden? Başkalarını haklı olduğunuza ikna edecek bir açıklama oluşturun.

Bayes teoremi, bir inanç ağı çizerek ya da sağduyu ile başa çıkabilirsiniz. Hangi yaklaşımı seçerseniz seçin, aldatıcı olarak basit koşullu olasılık kavramını daha iyi anlamalısınız.

İşte benim analiz:

Bu Monty Hall problemine benziyor , ama tam olarak değil. A, I change my place with BC'nin öleceğini söyledikten sonra kurtarılması için 2/3 şansı var. Eğer yapmazsa, Monty Hall probleminde seçiminizi değiştirmediğinizde yaşama şansının 1/3 olduğunu söyleyebilirim. Ama aynı zamanda, 2 kişilik bir grupta ve biri ölmeli, bu yüzden şansının 1/2 olduğunu söylemek cazip geliyor.

Yani paradoks hala burada, buna nasıl yaklaşacaksınız. Ayrıca, bu konuda nasıl bir inanç ağı oluşturabileceğime dair hiçbir fikrim yok, bu yüzden bunu görmek istiyorum.

probability self-study

— Benjamin Crouzier
kaynak

2

"O 2 adamdan oluşan bir grupta" anlamına gelmez "şansı 1/2"

— Henry

8

Başlangıçta eşit olasılıklara sahip üç olasılık vardır:

A serbest bırakılacak (prob ) $1/3$
B serbest bırakılacak (prob ) $1/3$
C serbest bırakılacak (prob ) $1/3$

Mesajın vaadiyle, farklı olasılıklara sahip dört olasılık vardır:

A serbest bırakılacak ve A'ya B'nin infaz edileceği söyleniyor (prob ) $1/6$
A serbest bırakılacak ve A'ya C'nin yürütüleceği söylenecek (prob ) $1/6$
B'nin serbest bırakılacağı ve A'ya C'nin yürütüleceği söylendi (prob ) $1/3$
C serbest bırakılacak ve A'ya B'nin yürütüleceği söylenecek (prob ) $1/3$

"A, C'nin icra edileceği söylenir" şartlı

A serbest bırakılacak ve A'ya C'nin yürütüleceği söylenecek (prob ) $1/3$
B'nin serbest bırakılacağı ve A'ya C'nin yürütüleceği söylendi (prob ) $2/3$

Böylece A mesajından sonra B (Monty Hall problemi) ile takas etmek ister, ancak orijinal olasılığını ve korur . $2/3$

— Henry
kaynak

1

A anahtarı B ile değiştirmek ister . Ortak Monty Hall açıklamalarından birini almak için: 1000 mahkum olduğunu hayal edin: A, hapishaneye ona 998 isim veren bir soru sorar. Açıkçası A olmayan ve isimlendirilmemiş biri hakkında çok şey öğrendik . Ama A hakkında hiçbir şey öğrenmedik .

— Ben Jackson

Bence A'nın pozisyonuna gardiyandan bunu sorması çok iyi bir stratejidir. Sonra B ile konuşun ve geçiş yapmak isteyip istemediğini sorun. Kabul ederse, siz, cellatlardan herhangi birinin serbest bırakılacaksa, diğerini serbest bırakıp bırakmayacağını sorabilirsiniz. B'nin bakış açısından, oranları değişmez, bu yüzden hayır demesi için bir sebep yoktur (ya da evet demek için, bu noktada bir baskı meselesidir)

— Cruncher

8

Bence problemi fazla düşünüyorsunuz - bu bir Monty Hall problemi ve aynı mantık geçerlidir.

— babelproofreader
kaynak

Gelişebilir misiniz? Ben muhakeme ile ilgileniyorum, cevap değil

— Benjamin Crouzier

1

@pinouchon: Jailer Monty Hall ve mahkum A oyuncu. Ölmek bir keçi elde etmeye benzer; affedilmek bir ödül almaya benzer. Şimdi Monty Hall probleminin istediğiniz herhangi bir açıklamasını doğrudan çevirebilirsiniz: bu, birçok akıl yürütmeyi kapsar. Bunu işaret ettiği için babelproofreader'a + 1'leyin.

— whuber

Nasıl bu açıklamaya karşı iddia ediyorum: But at the same time, he is in a group of 2 guys, and one should die, so it is tempting to say that his chances are 1/2.. Peki ya inanç ağı?

— Benjamin Crouzier

1

@Pinouchon İnanç ağı boyutuna odaklanmak için sorunuzu düzenlemek yapıcı olacaktır. Monty Hall probleminin kendisi birçok yerde ölümle tartışıldı, bu yüzden bu malzemeyi burada yeniden şekillendirmenin bir anlamı görmüyorum.

— whuber

Monty Hall sorununun ölümle tartışıldığına katılıyorum, ancak babelproof ve inatçı iddialarına rağmen, Mahkum A'nın nerede yer değiştirdiğini görmüyorum. Jailer üç mühürlü zarfa sahipti, biri af ve ikisi ölüm cümlesi içeriyordu, A bir zarf aldı ve hapishane başka bir zarf açtı (ayrı bir cevapta verdiğim kuralların aynısı) ve bir ölüm cezası içerdiğini gösterdi ve sonra A "Seçtiğiniz zarfı tutmak ister misiniz, geçiş yapmayı tercih eder misiniz?" Benzetmeyi görebiliyorum

— Dilip Sarwate

3

$A$ $P(A) = \frac{1}{3}$ $B$

$P(B \mid A) = 1$ $P(B \mid A^c) = 0$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$P(B \mid A) = 0$ $P(B \mid A^c) = 1$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

$B$

$1$ $3$ Monty'nin bir keçiyi ortaya çıkarmak için seçilmemiş bir kapı açıp açmamasına bakılmaksızın veya hapishane A'ya, C'nin tam olarak Henry'nin ayrıntılı olarak hesapladığı gibi C'nin infaz edileceğini veya yürütülmeyeceğini söyler.

— Dilip Sarwate
kaynak

Sanırım hapishanenin bu bilgiye sahip olduğunu varsayabiliriz, aksi takdirde sorun hakkında düşünmeye değmez (eğer hapishanenin bilinmeyen bir yalan söyleme olasılığı varsa, onlar da bir şey söylememiş olabilirler). İlk noktanıza gelince: kesin, sonuç Monty Hall probleminden farklıdır, çünkü geçiş yapma seçeneği yoktur. Ancak mantık aynıdır: kazanan olmayan bir seçeneği ortaya çıkararak, hapishanenin / Monty'nin seçmiş olabileceği başka bir seçenek hakkında bilgi verilir.

— Ruben van Bergen

2

Cevap, hapishanenin A'nın affedileceğini bildiği zaman hangi mahkumun ismini seçeceğine bağlıdır. İki kuralı düşünün:

1) Jailer rastgele B ve C arasından seçim yapar ve bu durumda C derdi. O zaman A'nın affedilme şansı 1/3 olur.

2) Hapishane daima C. der. A'nın affedilme şansı 1/2'dir.

Bize söylenen tek şey, hapishanenin C dediğidir, bu yüzden bu kurallardan hangisini takip ettiğini bilmiyoruz. Aslında, başka kurallar da olabilir - belki de hapishane bir kalıp yuvarlar ve sadece 6'yı yuvarlarsa C der.

— Ringold
kaynak

1

Başkaları tarafından işaret edildiği gibi, üç mahkumun sorunu Monty Hall'un yeniden ifade edilmesidir. Daha fazla bilgi için bu makalenin 1.7 bölümüne bakın http://faculty.winthrop.edu/abernathyk/Monty%20Hall%20Problem.pdf

— Zen
kaynak

0

Hapishanenin A'ya C'nin kesinlikle öleceğini söylediğini düşünün. Ve sonra B'ye C'nin kesinlikle öleceğini söyler. Bu durumda A ve B'nin her birinin affedileceği% 50 olduğu açıktır. Ancak iki sürüm arasındaki fark nedir?

— Gach
kaynak

0

$1/2$ $2/3$

$A$ $B$ $C$ $J$ $J^c$

$P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$

$P(J|A) = \frac{1}{2}$

P (A | J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

$P(A|J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

$P(J|A) = 1$ $P(J|C) = 1$ $P(J|B) = 0$

P (J) = P (J | B) P (B) + P (J | B^{c}) P (B^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

$P(J) = P(J|B)P(B) + P(J|B^c)P(B^c) = 0\times\frac{1}{3} + 1\times\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

P (A | J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

$P(A|J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

— Mikhail Volkhov
kaynak

1

"Mümkün olduğunda Carl'ı her zaman adlandırın", "Mümkün olduğunda her zaman Bob adını verin" kadar akla yatkın olmaz mı?

— Juho Kokkala

Evet, J 'yi buna göre yeniden tanımladığımızda S' = "mümkünse Carl adını verin" stratejisi tamamen eşdeğer olmalıdır. J'yi olduğu gibi bırakırsak ve Jailer'ı S '' yi takip etmeye zorlarsak, her şeyi önceden belirlenmiş hale getirir: J (jailer Bob diyorsa), "Carl" demenin mümkün olmadığını biliyoruz, bu yüzden Carl affedildi .

— Mikhail Volkhov

-1

Bilgiyi aldıktan sonra, Mahkum C'nin öleceği, şansı 1/2 olarak değişir, ancak sadece, bu bilgiyi alma şansı zaten 2/3'tür (mahkum C'nin affı alma olasılığı 1/3 ortadan kaldırılmıştır) )

Ve 2/3 * 1/2, kurtulmak için orijinal olasılıktır.

Daha ikna edici olan muhalefet yaklaşımıdır:

Varsayalım ki mahkum C'ye af vereceğini söylediler.
Öldürülmeme şansı nedir?
Herkes, hapishanenin yalan söylemediğini ve sadece bir af olduğunu varsayarsak, şansının sıfır olduğunu kabul edecektir.

Bu kez 1/1 şansı var, çünkü bu bilgi şansı zaten 1/3 idi.

— Sunzi
kaynak

Bu doğru değil; Henry'nin cevabında, hapishanenin bilgilerini dinledikten sonra, mahkum A'nın 2/3 ölme şansının (1/2 değil) olduğunu gösteren hesaplamaya bakın. Bu daha önce sahip olduğu olasılıkla aynıdır, bu yüzden hapishane haklıdır: A'ya söylediği şey, A'nın yaşama şansı için hiçbir şeyi değiştirmedi. Eğer B dinliyor olsaydı, şimdi ölme şansının 1 / 3'e düşürüldüğünü bilecekti.

— Ruben van Bergen