Nüfus varyansını hesaplamada N ve N-1 arasındaki fark nedir?

Neden olduğunu Nve N-1popülasyon varyansını hesaplarken anlamadım . Ne zaman Nve ne zaman kullanıyoruz N-1?

Daha büyük bir sürüm için buraya tıklayın

Nüfusun çok büyük olması durumunda N ve N-1 arasında bir fark olmadığını ancak başlangıçta neden N-1 olduğunu söylemediğini söylüyor.

Düzenleme: Lütfen tahmin etmekte kullanılan nve kime karıştırmayın n-1.

Düzen2: Nüfus tahmini hakkında konuşmuyorum.

$N$$n$$(N-1)/N = 1-(1/N)$$1-2/N$$1-17/N$$\exp(-1/N)$

$(n-1)/n$$n$$1-1/N$

$N$$N$

$N$$N-1$$N$$N$$n$

Matematiğe girmek yerine onu düz kelimelerle anlatmaya çalışacağım. Bütün nüfusu emrinde ise, varyansı ( nüfus farkı ) payda ile hesaplanır N. Aynı şekilde, eğer sadece numuneniz varsa ve bu numunenin varyansını hesaplamak istiyorsanız , paydayı kullanın N(bu durumda numunenin n'si). Her iki durumda da, hiçbir şey tahmin edemezsiniz : ölçtüğünüz ortalama, gerçek ortalamadır ve bu ortalamadan hesapladığınız değişken, gerçek sapmadır.

Şimdi, sadece örneklem var ve popülasyondaki bilinmeyen ortalama ve varyans hakkında çıkarım yapmak istiyorsunuz. Başka bir deyişle, tahminler istiyorsun . Örnek ortalamanızı popülasyon ortalamasının tahmini için alırsınız (çünkü örneğinizin temsilcisi ise). Nüfus varyansı tahmininin elde edilmesi için, bu ortalamanın gerçekten popülasyon ortalaması olduğunu ve bu nedenle hesapladığınızdan bu yana örneğinize bağlı olmadığını iddia etmeniz gerekir. Şimdi bunu sabit olarak aldığınızı "göstermek" için, numunenizden bir (herhangi bir) gözlemi, ortalamanın değerini "desteklemek" için ayırırsınız: numuneniz her ne olduysa, bir ayrılmış gözlem her zaman sizin için olan değeri getirebilir. var ve hangisinin örnekleme olasılıklarına duyarsız olduğuna inanıyorum. Ayrılmış bir gözlem "-1"N-1 hesaplama varyansı tahmininde.

Gerçek popülasyonun ne anlama geldiğini bildiğinizi, ancak örneklemden sapmayı tahmin etmek istediğinizi hayal edin. Daha sonra, bu gerçek ortalamayı varyans formülüne yerleştirir ve paydayı uygularsınız N: burada gerçek ortalamayı bildiğiniz için burada "-1" gerekmez , bu aynı örnekten tahmin etmediniz.

Genel olarak, popülasyonun sadece bir kısmı, yani bir örneklem varsa, n-1'e bölmelisiniz. Bunu yapmak için iyi bir neden var, biliyoruz ki, ortalama kareler sapmalarını örnek ortalamasından (n − 1) / n ile çarpan örnek sapma, popülasyon varyansının yansız bir tahmincisidir.

Örneklem varyansının tahmin edicisinin burada tarafsız olduğuna dair bir kanıt bulabilirsiniz: https://economictheoryblog.com/2012/06/28/latexlatexs2/

Ayrıca, eğer biri popülasyon varyansının tahmin edicisini uygulayacak olsaydı, bu, popülasyon yerine bir örneklemde n'ye bölünen varyans tahmincisinin versiyonudur, elde edilen tahmin yanlı olacaktır.

Geçmişte, çıkarımsal olmayan bir varyans için N kullanmanız gerektiğine dair bir argüman vardı, ama artık bunu tavsiye etmem. Her zaman N-1'i kullanmalısın. Numune büyüklüğü azaldıkça, N-1, numune varyansının azalması gerçeği için oldukça iyi bir düzeltmedir (dağılımın zirvesine yakın numuneyi örneklemeniz daha muhtemeldir - bkz. Şekil). Örneklem büyüklüğü gerçekten büyükse, anlamlı bir önemi yoktur.

Alternatif bir açıklama, nüfusun ulaşılması imkansız olan teorik bir yapı olduğudur. Bu nedenle, daima N-1'i kullanın, çünkü ne yaparsanız yapın, en iyi ihtimalle popülasyon varyansını tahmin ediyorsunuz.

Ayrıca, buradan itibaren varyans tahminleri için N-1'i göreceksiniz. Öğretmeninizden bir çıkarımsal arasında bir ayırım yapmanızı isteyebilecekleri bir sınav dışında muhtemelen bu konuyla hiç karşılaşmayacaksınız. çıkarımsal olmayan varyans ölçümü. Bu durumda, whuber'un cevabını ya da benimkini kullanmayın, ttnphns'ın cevabına bakın.

Bu şekilde, varyansın 1'e yakın olması gerektiğine dikkat edin. Varyansı tahmin etmek için N kullandığınızda örnek büyüklüğüne ne kadar değiştiğine bakın. (bu, başka bir yerde adı geçen "önyargı" dır)

Popülasyon varyansı, popülasyondaki tüm değerlerin kare sapmalarının toplamıdır ve popülasyondaki değerlerin sayısına bölünür. Bununla birlikte, bir popülasyonun bir örneklemden varyansını tahmin ederken, örnek değerlerin örnek ortalamasından sapmalarının ortalama olarak bu örnek değerlerin ortalamadaki sapmalardan biraz daha az olması sorunuyla karşı karşıyayız. bilinmiyor) gerçek nüfus ortalaması. Bu, örneklemden hesaplanan bir varyansın gerçek popülasyon varyansından biraz daha az olmasıyla sonuçlanır. N yerine n-1 böleni kullanılması, bu hafife almayı düzeltir.