"Öz" ün bir matrisin tersine çevrilmesine nasıl yardımcı olduğunu açıklayın

Benim sorum geoR:::.negloglik.GRFveya içinde kullanılan bir hesaplama tekniği ile ilgili geoR:::solve.geoR.

Doğrusal karışık model kurulumunda: burada β ve b sırasıyla sabit ve rastgele etkilerdir. Ayrıca, Σ = cov ( Y

$$Y=X\beta+Zb+e$$ $\beta$$b$$\Sigma=\text{cov}(Y)$

Etkileri tahmin ederken , normalde böyle bir şey kullanılarak yapılabilen hesaplanması gerekir , ancak bazen ( X ′ Σ - 1 X ) neredeyse tersine çevrilebilir, bu yüzden hile

$$(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}X'\Sigma^{-1} Y$$ solve(XtS_invX,XtS_invY)$(X'\Sigma^{-1}X)$geoR

t.ei=eigen(XtS_invX)
crossprod(t(t.ei$vec)/sqrt(t.ei$val))%*%XtS_invY

( geoR:::.negloglik.GRFve içinde görülebilir geoR:::.solve.geoR) ayrışmaya eşittir

$$(X'\Sigma^{-1}X)=\Lambda D \Lambda^{-1}\\ $$ burada ve bu nedenle ( X ' Σ - 1 x ) - 1 = ( D - 1 / 2 Λ - 1 ) ' ( D - 1 / 2 Λ - 1$\Lambda'=\Lambda^{-1}$ $$(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}=(D^{-1/2}\Lambda^{-1})'(D^{-1/2}\Lambda^{-1})$$

İki soru:

1. Bu öz ayrışması tersine çevirmeye nasıl yardımcı olur ?$(X'\Sigma^{-1}X)$
2. Başka geçerli alternatifler var mı (sağlam ve kararlı)? (örneğin qr.solveveya chol2inv?)

$\Sigma$$X^T \Sigma^{-1} X$

$\Sigma$$\Sigma = L L^T$$L^{-1} X$$L^{-1} X = QR$$L^{-1} X$$L$

$$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} X & = & X^T (L L^T)^{-1} X \\ & = & X^T L^{-T} L^{-1} X \\ & = & (L^{-1} X)^T (L^{-1} X) \\ & = & (Q R)^T Q R \\ & = & R^T Q^T Q T \\ & = & R^T R \end{array}$$ $R$$R^T R$

$X^T \Sigma Y$$X^T \Sigma^{-1} Y$

$$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} Y & = & X^T (L L^T)^{-1} Y \\ & = & X^T L^{-T} L^{-1} Y \\ & = & (L^{-1} X)^T L^{-1} Y \\ & = & (Q R)^T L^{-1} Y \\ & = & R^T Q^T L^{-1} Y \end{array}$$ $\beta$ $$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} X \beta & = & X^T \Sigma^{-1} Y \\ R^T R \beta & = & R^T Q^T L^{-1} Y \\ R \beta & = & Q^T L^{-1} Y \\ \beta & = & R^{-1} Q^T L^{-1} Y \end{array}$$ $R$