İspat / Reddetme

İspat / Reddetme $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

Filtrelenmiş bir olasılık alanı , . $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ $A \in \mathscr{F}$

Diyelim ki Bunu takip ediyorNe hakkında ?

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 1 a.s.

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$

E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A} | F_{t}] a.s. \forall s > t ?

$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$

\forall s < t

$\forall s < t$

Bunun yerineYa da

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 0 a.s. ?

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$

E [1_{A} | F_{t}] = p a.s. for some p \in (0, 1) ?

$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$

Ne denedim:

Eğer , daha sonra ile aynıdır, (hemen hemen kesin). Bu durumda, (hemen hemen kesin) her biri için . $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$ $\Bbb E[1_A]=1$ $1_A=1$ $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$ $s$

Benzer şekilde, eğer , o ile aynıdır, (hemen hemen kesin). Bu durumda, (hemen hemen kesin) her biri için . $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$ $\Bbb E[1_A]=0$ $1_A=0$ $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$ $s$

Eğer , sabit için daha sonra elimizdeki $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$ $p\in(0,1)$

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$ . Bu ise başarısız olabilir . $s>t$

Alternatif olarak kasa için: $= p$

Let sınırlı bir olmak -measurable rastgele değişken. $F$ $\mathscr F_t$

E [1_{A} \cdot F] = E [E [1_{A} \cdot F | F_{t}]] = E [F \cdot E [1_{A} | F_{t}]]

$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$

= E [p \cdot F] = p E [F] = E [1_{A}] \cdot E [F]

$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$

yani ve bağımsızdır. Başka bir deyişle, ve bağımsızdır. Bu yüzden ve , ve dolayısıyla . Bu ise başarısız olabilir . $1_A$ $F$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_t$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_s$ $s<t$ $E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$ $s>t$

Fikir, bir sabitin hem hem de -measurable'dan bağımsız olduğu fikridir $\mathscr F_s$ $\mathscr F_s$ .

— BCLC
kaynak

Argümanınız geçerli gibi görünüyor, ancak . Ancak, soru , ki bu rastgele değişken kümesindeki değerleri alır yani burada . Bu koşullu beklentinin tanımlayıcı özelliği, tüm için . Özel olarak, alma yol açar şu sonuca varabiliriz olan, $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$ $E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]$ $\{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$ $B\in\mathscr{F_t}$ $\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$ $F\in\mathscr{F_t}$ $F=B$ $P(B)=P(A\cap B)$ $B\subset A$ (muhtemelen bir olasılık kümesi sıfır hariç). Ancak, bildiğinizi (yazdığınız tartışmada olduğu gibi) yani , dolayısıyla olası tek sonuç (muhtemelen bir olasılık kümesi sıfır hariç). $E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$ $P(A)=P(B)$ $A=B$

İçin , , koşullu beklentiler için kule kanun ima böylece . Fakat , yani . Dolayısıyla için tüm koşullu beklentiler eşittir ( ). İçin , eğer o zaman yine olacak . Öte yandan, da olmadığı bir zamana geri , hakkında bir şey söylenebileceğini sanmıyorum $s\gt t$ $\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $s>t$ $1_A$ $s<t$ $A\in\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $A$ $\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]$ genel olarak. Somut bir örnek için, bu makaleye bakın , Şekil 1. Örneğin, koşullu beklentiler dizisini , , , . $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$ $E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$ $E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$

— S. Catterall Reinstate Monica
kaynak

Teşekkürler S. Catterall. 1 nasıl biliyorsunuz ? 2 ? Ayrıca soruyu düzenleyecek. Rahatsızlık için özür dileriz.

P (B) = P (A \cup B) \to B \subseteq A

$P(B) = P(A \cup B) \to B \subseteq A$

E [1_{A} | F_{t}] = 1_{A}

$E[1_A | \mathscr{F}_t] = 1_A$

— Fikirlerinizden

Doğal dilde özetlemeye çalışayım; sonuç alan giderek daha ince alt bölüm, ve olay koşullu beklentisi bir filtrasyon karşılık fazla bilgi ilk halde etkinliği (yaklaşık zirve olur ( "fazla bilgi mevcut olduğunda"), filtrasyon ardışık elemanları wrt sadece tekdüze dağılımdır). Durma süresi, işlemin stokastik seviye ayarlanmış yüzeyidir (kağıtta, sonuç değişkeni ikiliktir ve değeri seçilmiştir).

A

$A$

F_{0}

$\mathscr{F}_0$

0

$0$

— ocramz

@ocramz ve S. Catterall, kurgu yaptılar. Pls nasıl? ^ - ^

— BCLC

Bu resimde, biz olay ölçme eğer içinde uçları yukarı, ama örnek süreç bir yapılandırma değil aittir yapar , etkin bir "bilinemez" (ölçü olur ). Bu açıklama doğru mu? Dahası, ardışık zamanlarda şartlı beklentilerin nasıl davrandığı bana yinelemeli Bayes'in sürecini hatırlatıyor, bu kavramlar arasında bir bağlantı var mı? @S. Catterall

A

$A$

ω_{i}

$\omega_i$

A

$A$

A

$A$

0

$0$

— ocramz

İlk yorumunuzdaki sorulara cevap olarak: ise , , ve ayrık birliği olduğu için , yani Şimdi olduğu gibi, aynı şekilde yi de

P (B) = P (A \cap B)

$P(B) = P(A \cap B)$

B

$B$

A \cap B

$A\cap B$

A^{c} \cap B

$A^c\cap B$

P (A^{c} \cap B) = 0

$P(A^c\cap B)=0$

B \subset A

$B\subset A$

P (A) = P (B)

$P(A)=P(B)$

A = B \in F_{t}

$A=B\in \mathscr{F_t}$

— S.Catterall Monica'yı Yeniden Başlat