Latin Hiperküp Örnekleme Asimtotikleri

Üzerinde çalıştığım bir sorun için bir kanıt oluşturmaya çalışıyorum ve yaptığım varsayımlardan biri, örnek aldığım noktaların tüm alan üzerinde yoğun olması. Pratik olarak, tüm örnek alanı üzerinde puanlarımı elde etmek için Latin hiper küp örnekleme kullanıyorum. Latince hiperküp örnekleri size örnek büyüklüğü eğilimindedir izin verirseniz tüm alan üzerinde yoğun olursa ne bilmesi istiyorum olduğunu $\infty$ ? Eğer öyleyse, bu gerçek için bir alıntı çok takdir edilecektir.

Kısa cevap: Evet, olasılıkla. Bu, herhangi bir mesafe verilen, göstermek mümkündür , herhangi bir sonlu bir alt kümesi { x 1 , ... , x m } örnek alanı ve bir öngörülmüş 'tolerans' δ > 0 uygun bir şekilde büyük numune boyutları için, emin olabilir ki bir numune, bir mesafe içinde nokta olduğunu olasılık £ değerinin bir x i olan > 1 - δ tüm i = 1 , ... , m .$\epsilon>0$$\{x_1,…,x_m\}$$\delta>0$$\epsilon$$x_i$$>1-\delta$$i=1,…,m$

Uzun cevap: Doğrudan alakalı atıfların farkında değilim (ama aşağıya bakınız). Latin Hiperküp Örneklemesi (LHS) hakkındaki literatürün çoğu varyans azaltma özellikleri ile ilgilidir. Diğer bir konu, ne örnek büyüklüğü eğiliminde olduğunu söylemek demek olduğunu ? Basit bir IID rasgele örnekleme için, boyut örnek bir n büyüklükteki bir örnek elde edilebilir , n - 1 diğer bir bağımsız örneği ekleyerek. LHS için, numune sayısı prosedürün bir parçası olarak önceden belirtildiği için bunu yapabileceğinizi sanmıyorum. Yani bir arkaya almak zorunda olacağını görünen bağımsız boyutta LHS örneklerinde 1 , 2 , 3 , . $\infty$$n$$n-1$.$1,2,3,...$

Örnek büyüklüğü ∞'a , sınırda 'yoğun' yorumlamanın bir yolu da olmalıdır . Yoğunluk iki boyutta, sen boyutta LHS örneklerine ait bir dizi seçebilirsiniz mesela LHS'nin bir deterministik bir şekilde beklemeye görünmüyor 1 , 2 , 3 , . . . öyle ki hepsi [ 0 , 1 ) 2'nin köşegenine yapışır . Yani bir çeşit olasılık tanımı gerekli görünüyor. Let, her için n , X , n = ( X , n , 1 , X , n , 2 , . $\infty$$1,2,3,...$$[0,1)^2$$n$$X_n=(X_{n1},X_{n2},...,X_{nn})$$n$$n$$\epsilon>0$$x$$[0,1)^d$$P(min_{1\leq k\leq n} \|X_{nk}-x\|\geq \epsilon)\to0$$n\to \infty$

Örnek , dağılımından ('IID rastgele örnekleme') bağımsız örnek alınarak elde edilirse hacmi yarıçapı boyutlu top . Kesinlikle IID rastgele örnekleme asimptotik olarak yoğundur. n U ( [ 0 , 1 ) d ) P ( m i n 1 ≤ k ≤ n ‖ X n k - x ‖ ≥ ϵ ) = n ∏ k = 1 P ( ‖ X n k - x ‖ ≥ ϵ ) ≤ ( 1 - v ϵ 2 - d ) $X_n$$n$$U([0,1)^d)$v ϵ d

Şimdi numunelerinin LHS tarafından elde edildiği durumu düşünün . Bu notlardaki Teorem 10.1 , örnek üyelerinin hepsinin olarak dağıtıldığını belirtir . Bununla birlikte, LHS'nin tanımında kullanılan permütasyonlar (farklı boyutlar için bağımsız olmasına rağmen), örneğin üyeleri ( ) arasında bir miktar bağımlılığa neden olur , bu nedenle asimtotik yoğunluk özelliğinin sahip olduğu daha az açıktır.X n U ( [ 0 , 1 ) d ) X n k , k ≤ $X_n$$X_n$$U([0,1)^d)$$X_{nk}, k\leq n$

ve düzeltin . Tanımla . olduğunu göstermek istiyoruz . Bunu yapmak için, Latin Hiperküp Örneklemesi için bir tür Merkezi Limit Teoremi olan bu notlarda Teklif 10.3'ü kullanabiliriz . Tanımlama ile ise yarıçapının topu olup çevresinde , , aksi. Sonra Önerme 10.3 bize nerede vex ∈ [ 0 , 1 ) D P , n = p ( m, i , n 1 ≤ k ≤ n ‖ X , n k - X ‖ ≥ ε ) p , n → 0 f : [ 0 , 1 ] D → R f ( z ) = 1 z ϵ x f ( z $\epsilon\gt 0$$x\in [0,1)^d$$P_n=P(min_{1\leq k\leq n} \|X_{nk}-x\|\geq \epsilon)$$P_n\to 0$$f:[0,1]^d\to\mathbb{R}$$f(z)=1$$z$$\epsilon$$x$Y n : = $f(z)=0$μ=∫ [ 0 , 1 ] D f(Z)dz μ L H S =$Y_n:=\sqrt n (\hat{\mu}_{LHS}-\mu)\xrightarrow{d} N(0,\Sigma)$$\mu=\int_{[0,1]^d} f(z) dz$$\hat{\mu}_{LHS}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(X_{ni})$ .

alın . Sonunda, yeterince büyük için . Sonuçta . Bu nedenle , burada standart normal cdf'dir. Yana keyfi olarak, bu şu gerektiği gibi.n - $L>0$$n$Pn=P(Yn=-$-\sqrt n\mu\lt -L$$P_n=P(Y_n=-\sqrt n \mu)\le P(Y_n\lt -L)$$\limsup P_n\le \limsup P(Y_n\lt -L)=\Phi(\frac{-L}{\sqrt\Sigma})$$\Phi$$L$$P_n\to 0$

Bu, hem iid rastgele örnekleme hem de LHS için asimptotik yoğunluğu (yukarıda tanımlandığı gibi) kanıtlar. Gayrı, herhangi bir bu araçlar ve herhangi örnekleme uzayda, numune içinde alır olasılığı ait Eğer yeterince büyük örnek boyutu seçerek istedikleri gibi 1'e yakın olarak yapılabilir. Sonlu altkümedeki her noktaya zaten bildiğimiz şeyleri uygulayarak, asimtotik yoğunluk kavramını örnek alanının sonlu alt kümelerine uygulanacak şekilde genişletmek kolaydır. Daha resmi olarak, bu şunu gösterebileceğimiz anlamına gelir: herhangi bir ve örnek alanının sonlu alt kümeleri için,$\epsilon$$x$$\epsilon$$x$$\epsilon>0$$\{x_1,...,x_m\}$$min_{1\leq j\leq m} P(min_{1\leq k\leq n} \|X_{nk}-x_j\|\lt \epsilon)\to 1$ ( ).$n\to\infty$

Bunun istediğiniz gibi olup olmadığından emin değilim, ama işte gidiyor.

Diyelim ki den LHS-örnekleme puanınız var . Gayri resmi olarak, her bir , her bir boyutta boyutunda beklenen boş (hiper) cuboid sayısının olarak sıfıra gittiğini iddia edeceğiz .$n$$[0,1)^d$$\epsilon>0$$\epsilon$$n\to\infty$

Let yüzden biz bölmek eğer üniform olarak - küçük küboidler microcuboids , ki - genişliği o zaman her width- küboid içerir en az bir mikrokuboid. Dolayısıyla, örneklenmemiş mikrokübitlerin beklenen sayısının sıfır olduğunu, sınırında olduğunu gösterebilirsek, işimiz bitti demektir. ( Mikrokubidlerimizin düzenli bir ızgara üzerinde düzenlendiğini, ancak -cuboid'lerin herhangi bir konumda olabileceğini unutmayın.)$m=\lceil 2/\epsilon \rceil$$[0,1)^d$$m^d$$1/m$$\epsilon$$n\to\infty$$\epsilon$

İlk örnek noktası ile verilen bir mikrokübürün tamamen kaybolma şansı , ilk örnek koordinatları (ilk örnek noktası) serbestçe seçilebildiğinden , bağımsız olarak . İlk birkaç numune noktasının mikrokomoid'i kaçırdığı göz önüne alındığında, sonraki numune puanlarının kaçırılması daha zor olacaktır (ortalama olarak), bu nedenle tüm puanın eksik olma olasılığı .$1-m^{-d}$$n$$d$$n$$(1-m^{-d})^n$

Var olarak microcuboids yukarıda sınırlanmaktadır cevapsız beklenen sayı, yani beklentileri eklemek için - - ki bu olarak sınırda sıfır .$m^d$$[0,1)^d$$m^d(1-m^{-d})^n$$n\to\infty$

Güncellemeler ...

(1) Burada verilen ne kadar gösteren bir resim , pick olabilir bir şekilde yeterince büyük olan en az bir microcuboid olduğu garanti edilir "microcuboids" (bu 2 boyutlu resimde kareler) ızgara bir boyutlu bölgesi. Ben iki "rastgele" -seçilmiş bölge gösterdim ve içerdiği iki mikrokubuk mor renkli var.$\epsilon$$m$$m\times m$ $\epsilon\times\epsilon$$\epsilon\times\epsilon$

(2) Herhangi bir mikrokuboid düşünün. Hacmin , tüm boşluğun kesri vardır . Böylece, tamamen serbestçe seçilen tek LHS örneği, olasılığı ile özleyecektir . Sadece önemli gerçeği bu sabit bir değer (biz vereceğiz olmasıdır ama tutmak den az olduğunu sabiti) .$(1/m)^d$$m^{-d}$$1-m^{-d}$$n\to\infty$$m$$1$

(3) Şimdi örnek noktalarının sayısını düşünün . Resimde gösterdim. LHS, bu süper küçük boyutlu "nanoküpler" in ince bir ağında çalışır, eğer daha büyük boyutlu "mikrokuboidler", ancak aslında bu kanıtta önemli değildir. Kanıt, sadece daha fazla puan atarken belirli bir mikrokübürü kaçırmamak için ortalama olarak giderek zorlaştığına dair hafifçe el sallama ifadesine ihtiyaç duyuyor. Olduğu bu nedenle bir olasılık , ilk LHS'nin eksik ancak point daha fazla için her eksik bunların: sınırı olarak sıfırdır$n>m$$n=6m$$n^{-1}\times n^{-1}$$m^{-1}\times m^{-1}$$1-m^{-d}$$(1-m^{-d})^n$ $n$$n\to\infty$ .

(4) Tüm bu epsilons bir kanıt için iyidir, ancak sezginiz için harika değildir. Burada, en büyük boş dikdörtgen alan vurgulanmış olarak ve örnek noktasını gösteren birkaç resim var . (Izgara ızgara örnekleme LHS olduğunu - "nanocuboids" Daha önce değinilen.) O büyük boş alan örnek noktalarının sayısı olarak keyfi küçük boyutu küçülecek ki (bazı belirsiz sezgisel anlamda) "bariz" olmalıdır .$n=10$$n=50$$n\to\infty$