Süper script 2 alt simge 2'nin normlar bağlamında anlamı nedir?

Optimizasyonda yeniyim. Bir normun sağ tarafında üst simge 2 ve alt simge 2 olan denklemleri görmeye devam ediyorum . Örneğin, en küçük kareler denklemi

min $||Ax-b||^2_2$

Üst simge 2'yi anlıyorum: normun değerini kare yapmak anlamına geliyor. Ama alt simge 2 nedir? Bu denklemleri nasıl okumalıyım?

regression optimization notation

— bernie2436
kaynak

| | θ | |_{p}

$||\theta||_p$ olan

ℓ_{p}

$\ell_p$ arasında -norm

θ

$\theta$ . Diyelim

θ

$\theta$ olduğunu

d

$d$ boyutlu, daha sonra

| | θ | |_{p} = {(\sum_{i = 1}^{d} | θ_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}}

$||\theta||_p = \left(\sum_{i=1}^d |\theta_i|^p\right)^\frac{1}{p}$ .

— Sobi

Mutlak değer (büyüklük) için tek dikey çubuklar kullanılır:

| θ |

$|\theta|$

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün

Teşekkürler! ... ama üst simge 2 ne için? ... alt simge pth normu için .... üst simge ne için?

— mathopt

@ user1467929: Kareleme - eğer başka bir şey olursa, kesinlikle söylerlerdi.

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün

Yanıtlar:

Üst simge konusunda haklısınız. Alt simge $||.||_p$ , $p$ normunu belirtir .

Bu nedenle:

| | x_{i} | |_{p} = (\sum_{i} | x_{i} |^{p})^{1 / p}

$||x_i||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{1/p}$

Ve:

| | x_{i} | |_{p}^{p} = \sum_{i} | x_{i} |^{p}

$||x_i||_p^p=\sum_i|x_i|^p$

— RUser4512
kaynak

Ah. Gördüğüm aboneliklerin anlamları için sözleşmeler var. en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)#p-norm . Yani 1 =

— taksik

@ bernie2436: Bunlar yukarıdaki cevapta verilen genel tanımın özel durumlarıdır (belki

ile sup-norm hariç )

p = \infty

$p = \infty$

— Michael M

, vektörünün Öklid normudur; , kareli Öklid normudur. Öklid normu muhtemelen çoğunlukla yaygın kullanılan norm insanlar olduğu gibi rutin tarafından kısaltılmış geldiğini hatırlatırız . Öklid vektör uzayını varsayarken tanım gereği: $\|x\|_2$ $x$ $\|x\|_2^2$ $x$ $\|x\|$ . $\|x\|_2 := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

Yorumlarda belirtildiği gibi, alt dizisi normun derecesini ifade eder. Yaygın olarak kullanılan diğer normlar , ve . İçin , bir sıfır olmayan eleman sayısını alır için, (ör. ), bir Manhattan norm alır ve için bir eleman ile ilgili maksimum mutlak değeri alır . Hem hem de $p$ $p = 0$ $p = 1$ $p = \infty$ $p=0$ $x$ $p=1$ $\|x\|_1$ $p = \infty$ $x$ $p = 0$ seyrek / sıkıştırılmış uygulama ayarlarında popülerdir ve burada bazı katsayı (ları) sıfır olarak çağırmak ister. $p = 1$

— usεr11852 diyor Reinstate Monic
kaynak