İkinci dereceden kısıtlamalara tabi olan çok değişkenli normal dağılımdan örnek çekme


Yanıtlar:


12

Bu sorunun resmi olarak çözülmesi için öncelikle

" Nd(μ,Σ) dağılımı || x || ^ 2 = 1 kısıtlamasına tabidir ||x||2=1"

Doğal yol, 'nin . Ve bunu koşullu olarak uygulamak için . Kullandığımız ise polar koordinatları , dönüşümün Jacobian'ı Bu nedenle, dağılımının koşullu yoğunluğuXNd(μ,Σ)||X||=ϱϱ=1

x1=ϱcos(θ1)θ1[0,π]x2=ϱsin(θ1)cos(θ2)θ2[0,π]xd1=ϱ(i=1d2sin(θi))cos(θd1)θd1[0,2π]xd=ϱi=1d1sin(θi)
ϱd1i=1d2sin(θi)d1i
θ=(θ1,,θd1) verilen isimli ϱ
f(θ|ϱ)exp12{(x(θ,ϱ)μ)TΣ1(x(θ,ϱ)μ)}i=1d2sin(θi)d1i

Sonuç: Bu yoğunluk, Jacobian yüzünden birim küredeki bir noktaya Normal yoğunluğu uygulamaktan farklıdır.

İkinci adım ve parametre uzayını keşfetmek için bir Markov zinciri Monte Carlo algoritması tasarlayın . İlk denemem, , yani en yakın alanda başlatılan bir Gibbs örnekleyicisinde olacaktı. ve Gibbs içinde Metropolis tarzında bir seferde bir açıyla ilerlemek:

f(θ|ϱ=1)exp12{(x(θ,1)μ)TΣ1(x(θ,1)μ)}i=1d2sin(θi)d1i
[0,π]d2×[0,2π]μμ/||μ||
  1. Oluşturmak (toplamlar hesaplanır burada modulo ) ve bu yeni değeri başkaθ1(t+1)U([θ1(t)δ1,θ1(t)+δ1])π
    f(θ1(t+1),θ2(t),...|ϱ=1)f(θ1(t),θ2(t),...|ϱ=1)1
    θ1(t+1)=θ1(t)
  2. Oluşturmak (toplamlar hesaplanır burada modulo ) girin ve bu yeni değeri başkaθ2(t+1)U([θ2(t)δ2,θ2(t)+δ2])π
    f(θ1(t+1),θ2(t+1),θ3(t),...|ϱ=1)f(θ1(t+1),θ2(t),θ3(t),...|ϱ=1)1
    θ2(t+1)=θ2(t)
  3. Oluşturmak (toplamlar modulo olarak hesaplanır ) ve bu yeni değeri başkaθd1(t+1)U([θd1(t)δd1,θd1(t)+δd1])2π
    f(θ1(t+1),θ2(t+1),...,θd1(t+1)|ϱ=1)f(θ1(t+1),θ2(t+1),...,θd1(t)|ϱ=1)1
    θd1(t+1)=θd1(t)

Ölçeğin , , , ideal bir hedefe doğru, adımların kabul oranları karşı ölçeklendirilebilir .δ1δ2δd150%

ve için varsayılan değerlerle, yukarıdaki örneği gösteren bir R kodu :μΣ

library(mvtnorm)
d=4
target=function(the,mu=1:d,sigma=diag(1/(1:d))){
 carte=cos(the[1])
 for (i in 2:(d-1))
  carte=c(carte,prod(sin(the[1:(i-1)]))*cos(the[i]))
 carte=c(carte,prod(sin(the[1:(d-1)])))
 prod(sin(the)^((d-2):0))*dmvnorm(carte,mean=mu,sigma=sigma)}
#Gibbs
T=1e4
#starting point
mu=(1:d)
mup=mu/sqrt(sum(mu^2))
mut=acos(mup[1])
for (i in 2:(d-1))
  mut=c(mut,acos(mup[i]/prod(sin(mut))))
thes=matrix(mut,nrow=T,ncol=d-1,byrow=TRUE)
delta=rep(pi/2,d-1)     #scale
past=target(thes[1,])   #current target
for (t in 2:T){
 thes[t,]=thes[t-1,]
 for (j in 1:(d-1)){
   prop=thes[t,]
   prop[j]=prop[j]+runif(1,-delta[j],delta[j])
   prop[j]=prop[j]%%(2*pi-(j<d-1)*pi)
   prof=target(prop)
   if (runif(1)<prof/past){
     past=prof;thes[t,]=prop}
   }
}

-3

||x||22=1 , (sürekli) rasgele bir değişken olduğundan kesinlikle mümkün değildir . 1 varyans olmasını istiyorsanız, yani (burada tilde varyansı tahmin ettiğimiz anlamına gelir), varyansının . Ancak bu talep ile çelişebilir . Yani, bu varyansı olan örnekler almak için diyagonalinin değerine eşit olması gerekir .xE[(xμ)2]=~1n(xμ)2=1n||xn||22=1n1nΣΣ1n

Örneğe genel olarak bu dağıtımı için, standart normalleri IID oluşturmak ve sonra çok-katlı ile olabilir , kare kökü , ardından anlamına eklemek .Σ0.5Σμ


Yanıtınız için teşekkürler. Bunun istediğimi üreteceğini (ancak etkili olmadığını) düşünebilmemin bir yolu da reddetme örneklemesi . Yani, bunu yapmak imkansız değil. Ama bunu yapmanın etkili bir yolunu arıyorum.
Sobi
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.