Rastgele değişkenlerin beklenen değeri

Anlamadığım bu türetme ile karşılaştım: , ortalama ve varyans popülasyonundan alınan n boyutunda rastgele örneklerse , o zaman$X_1, X_2, ..., X_n$$\mu$$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

Burası kaybolduğum yer. Kullanılan bağımsız değişken çünkü aynı şekilde dağıtılırlar. Gerçekte bu doğru değil. Diyelim ki bir örneğim var, ve sonra rastgele 2 rakamı değiştirerek seçip bu prosedürü 10 kez tekrarlayın, o zaman 10 numune alıyorum: (5, 4) (2, 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). 2 rastgele değişken için böyle görünür . Şimdi beklenti değerini ,$E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$X_1, X_2$$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

Ancak nüfusun beklenen değeri 3,5'tir. Muhakememde gerçekten yanlış olan ne?

Her şeyden önce, örnek değildir. Bunlar Tim'in işaret ettiği gibi rastgele değişkenlerdir. Bir gıda maddesindeki su miktarını tahmin ettiğiniz bir deney yaptığınızı varsayalım; bunun için 100 farklı gıda maddesi için 100 su içeriği ölçümü olduğunu söylersiniz. Her seferinde su içeriği değeri elde edersiniz. Burada su içeriği rastgele değişkendir ve Şimdi dünyada toplam 1000 gıda maddesi olduğunu varsayalım. 100 farklı gıda maddesi bu 1000 gıda maddesinin bir örneği olarak adlandırılacaktır. Su içeriğinin rastgele değişken olduğuna ve elde edilen su içeriğinin 100 değerinin bir örnek oluşturduğuna dikkat edin. $X_1, X_2,...,X_n$

Bir olasılık dağılımından n değerleri rastgele ve bağımsız olarak örneklediğinizi varsayalım, . Şimdi beklenen değeri bulmanız gerekiyor . Her biri yana bağımsız ve özdeş örneklenir, her birinin beklenen değeri olup . Bu nedenle alırsınız .$E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$

Sorunuzdaki üçüncü denklem, bir tahmin edicinin nüfus parametresinin tarafsız tahmincisi olması koşuludur. Bir tahmincinin tarafsız olması koşulu

burada teta popülasyon parametresi ve örnek tarafından tahmin edilen parametredir.$\bar{\theta}$

Senin örnekte, nüfusu ve bir örneğini verilmiş olan iid değerler . Soru, bu örnek verilen popülasyon ortalamasını nasıl tahmin edeceğinizdir. Yukarıdaki formüle göre numunenin ortalaması, popülasyon ortalamasının tarafsız bir tahmincisidir. Tarafsız tahmin edicinin gerçek ortalamaya eşit olması gerekmez, ancak bu bilgiyi alabileceğiniz kadar ortalamaya yakındır.$\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$