Olasılık dağılımları topluluğunun tamamlandığı topolojiler

Olasılık dağılımları hakkındaki sezgisel anlayışımı olasılık dağılımları üzerindeki neredeyse tüm topolojilerin sahip olduğu garip özelliklerle uzlaştırmakla biraz uğraşıyorum.

Örneğin, rastgele bir değişken karışımı düşünün : 0 merkezli, 1 varyanslı ve olasılık olan bir Gauss seçin , sonuca ekleyin . Bu tür rastgele değişkenlerin bir sekansı, varyans 1 ile 0 merkezli bir Gauss'a yakınlaşır (zayıf ve toplam varyasyonda), ancak ortalaması her zaman ve varyanslar yaklaşır . Bu dizinin bu yüzden yakınsak olduğunu söylemek hoşuma gitmiyor.$X_n$$\frac{1}{n}$$n$$X_n$$1$$+\infty$

Topolojiler hakkında unuttuğum her şeyi hatırlamak için biraz zaman ayırdım, ama sonunda bu tür örnekler hakkında benim için neyin tatmin edici olmadığını anladım: dizinin sınırı geleneksel bir dağılım değil. Yukarıdaki örnekte sınır, garip bir "ortalama 1 ve sonsuz varyans Gauss'udur". Topolojik olarak, olasılık dağılımları seti zayıf (ve TV ve baktığım diğer tüm topolojiler) altında tam değildir.

Sonra şu soru ile karşı karşıyayım:

• olasılık dağılımları topluluğunun tamamlanacağı bir topoloji var mı?

• Hayır ise, bu yokluk olasılık dağılımları grubunun ilginç bir özelliğini yansıtıyor mu? Yoksa sadece sıkıcı mı?

Not: "Olasılık dağılımları" ile ilgili sorumu ifade ettim. Bunlar kapatılamaz çünkü Diracs'a ve pdf içermeyen şeylere yakınlaşabilirler. Ancak zayıf topoloji kapsamında önlemler hala kapalı değil, bu yüzden sorum devam ediyor

mathoverflow çapraz çapraz /mathpro/226339/topolojiler-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

Soruya daha dar bir istatistiksel açıdan bakıldığında (genel matematiksel topolojik konu geçerlidir), moment dizisinin sınırlama dağılımının momentlerine yakınlaşamayacağı bilinen bir fenomendir. Bu prensipte, dizinin iyi davranmış sınırlayıcı dağılımının varlığından şüphe duymaz.

Yukarıdaki dizinin sınır dağılımı $\{X_n + n Bern(1/n)\}$ iyi huylu $N(0,1)$sonlu momentlerle dağılım. Yakınsamayan anların dizisidir. Ancak bu farklı bir sekanstır, sınırlayıcı dağılımını ilgilendiğimiz rasgele değişkenlerin sekansından değil, rasgele değişkenlerimizin fonksiyonlarından (integraller, yoğunluklar ve benzeri) oluşan bir sekanstır.