Hata İşlevi ve Standart Normal dağıtım işlevi nasıl ilişkilidir?


10

Standart Normal PDF

f(x)=12πe-x2/2

ve CDF

F(x)=12πxex2/2dx,

bu nasıl hata fonksiyonuna dönüşür z?



Bunu gördüm, ama zaten tanımlanmış ERF ile başlıyor.
TH4454

Bir erf tanımı ve Normal CDF'nin bir tanımı vardır. Bazı rutin hesaplamalar ile türetilebilen ilişkiler, aralarında nasıl dönüştürülecekleri ve tersleri arasında nasıl dönüştürülecekleri gösterilmiştir.
Mark L. Stone

Üzgünüm, ayrıntıların çoğunu göremiyorum. Örneğin, CDF -Inf'den x'e kadardır. Peki ERF 0'dan x'e nasıl gider?
TH4454

Değişken değişim hesabı tekniğine aşina mısınız? Değilse, nasıl yapılacağını öğrenin.
Mark L. Stone

Yanıtlar:


17

Bu, bazı sistemlerde sıklıkla ortaya çıktığı için (örneğin, Mathematica , Normal CDF'yi cinsinden ifade etmede ısrar ediyor ), ilişkiyi belgeleyen böyle bir iş parçacığına sahip olmak iyidir.Erf


By tanımı, Hata Fonksiyonu olduğunu

erf(x)=2π0xe-t2dt.

Yazma ve açık t = z / t2=z2/2 (nedeniyletnegatif değildir), neredendt=dz/t=z/2t . Bitiş noktalarıt=0vet=Xhalinez=0vez=xdt=dz/2t=0t=xz=0 . Ortaya çıkan integrali birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) gibi görünen bir şeye dönüştürmek için,-alt limitleri olan integraller cinsinden ifade edilmelidir, bu nedenle:z=x2-

erf(x)=22π0x2e-z2/2dz=2(12π-x2e-z2/2dz-12π-0e-z2/2dz).

Sağ el boyutundaki bu integrallerin her ikisi de standart Normal dağılımın CDF değerleri,

Φ(x)=12π-xe-z2/2dz.

özellikle,

erf(x)=2(Φ(x2)-Φ(0))=2(Φ(x2)-12)=2Φ(x2)-1.

Bu, Hata İşlevinin Normal CDF açısından nasıl ifade edileceğini gösterir. Bunun cebirsel manipülasyonu Hata Fonksiyonu açısından Normal CDF'yi kolayca verir:

Φ(x)=1+Erf(x/2)2.

Bu ilişki (yine de gerçek sayılar için) iki fonksiyonun grafiklerinde sergilenmektedir. Grafikler aynı eğrilerdir. Soldaki Hata Fonksiyonunun koordinatları , x koordinatlarını √ ile çarparak sağdaki koordinatlarına dönüştürülür.Φx , ilave1içinykoordinatları ve daha sonra bölünerekYile koordinat2ilişkisini gösteren,21yy2

Φ(x2)=erf(x)+12

gösterim açıkça bu üç çarpma, toplama ve bölme işlemini gösterir.

şekil


Bence
Φ(x,μ,σ)=12(1+erf(x-μσ2))
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.