Hata İşlevi ve Standart Normal dağıtım işlevi nasıl ilişkilidir?

Standart Normal PDF

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

ve CDF

F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- x^{2} / 2} d x,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

bu nasıl hata fonksiyonuna dönüşür $z$ ?

normal-distribution cdf

— TH4454
kaynak

johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf

— Mark L. Stone

Bunu gördüm, ama zaten tanımlanmış ERF ile başlıyor.

— TH4454

Bir erf tanımı ve Normal CDF'nin bir tanımı vardır. Bazı rutin hesaplamalar ile türetilebilen ilişkiler, aralarında nasıl dönüştürülecekleri ve tersleri arasında nasıl dönüştürülecekleri gösterilmiştir.

— Mark L. Stone

Üzgünüm, ayrıntıların çoğunu göremiyorum. Örneğin, CDF -Inf'den x'e kadardır. Peki ERF 0'dan x'e nasıl gider?

— TH4454

Değişken değişim hesabı tekniğine aşina mısınız? Değilse, nasıl yapılacağını öğrenin.

— Mark L. Stone

Bu, bazı sistemlerde sıklıkla ortaya çıktığı için (örneğin, Mathematica , Normal CDF'yi cinsinden ifade etmede ısrar ediyor ), ilişkiyi belgeleyen böyle bir iş parçacığına sahip olmak iyidir. $\text{Erf}$

By tanımı, Hata Fonksiyonu olduğunu

erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

Yazma ve açık $t^2 = z^2/2$ (nedeniylenegatif değildir), nereden $t = z / \sqrt{2}$ $t$ . Bitiş noktalarıvehalineve $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ . Ortaya çıkan integrali birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) gibi görünen bir şeye dönüştürmek için,alt limitleri olan integraller cinsinden ifade edilmelidir, bu nedenle: $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

erf (x) = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z = 2 (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{0} e^{- z^{2} / 2} d z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

Sağ el boyutundaki bu integrallerin her ikisi de standart Normal dağılımın CDF değerleri,

Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- z^{2} / 2} d z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

özellikle,

erf (x) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - Φ (0)) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - \frac{1}{2}) = 2 Φ (x \sqrt{2}) - 1.

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

Bu, Hata İşlevinin Normal CDF açısından nasıl ifade edileceğini gösterir. Bunun cebirsel manipülasyonu Hata Fonksiyonu açısından Normal CDF'yi kolayca verir:

Φ (x) = \frac{1 + Erf (x / \sqrt{2})}{2} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

Bu ilişki (yine de gerçek sayılar için) iki fonksiyonun grafiklerinde sergilenmektedir. Grafikler aynı eğrilerdir. Soldaki Hata Fonksiyonunun koordinatları , koordinatlarını çarparak sağdaki koordinatlarına dönüştürülür. $\Phi$ $x$ , ilaveiçinkoordinatları ve daha sonra bölünerekile koordinatilişkisini gösteren, $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (x \sqrt{2}) = \frac{erf (x) + 1}{2}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

gösterim açıkça bu üç çarpma, toplama ve bölme işlemini gösterir.

— whuber
kaynak

Bence

Φ (x, μ, σ) = \frac{1}{2} (1 + erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$