Çok koşullu Bayes Teoremi

Bu denklemin nasıl türetildiğini anlamıyorum.

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

Bu denklem, OJ Simpson vakasına örnek bir problem olarak verildiği "Olasılıkla Deneme" adlı makaleden alınmıştır. Sanık çifte cinayetten yargılanıyor ve aleyhine iki delil sunuluyor.

$M_{1}$ , sanığın kanının bir suç mahallinde bulunan bir damla kanla eşleşmesi olayıdır. kurbanın kanının davalıya ait bir çoraptaki kanla eşleşmesi olayıdır. Suçluluk varsayarak, bir kanıtın ortaya çıkması diğerinin olasılığını arttırır. ise sanık masum olaydır suçlu olduğu zaman olduğunu. $M_{2}$ $I$ $I'$

İki delil göz önüne alındığında, davalının masum olma olasılığının tavanını almaya çalışıyoruz.

Bazı değişkenler için değerler verilmiştir fakat ilgilendiğim şey denklemin nasıl türetildiği. Denedim ama hiçbir yere gitmedim.

Evet, zaten 'Cevabınızı alabilecek sorular'ı kontrol ettim.

bayesian conditional-probability bayes

— Sakurabe
kaynak

anlamı nedir ? Öyle mi ?

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— Xi'an

Xi'an @ evet olan başka gösterimde

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe

Bayes Teoremine göre: Şimdi sağladığınız kağıt,

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

Eğer doğru ise o zaman ve bağımsızdır. Ancak suçluluk varsayarak birinin ortaya çıkması diğerinin olasılığını artıracaktır. $I$ $M_1$ $M_2$

Böylece ve Bu nedenle,

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

İçin derived , not ve oluşumu yana olasılığını arttıracaktır : $\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$

M_{1}

$M_1$

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— Francis
kaynak

Önce yardım etmek için zaman ayırdığınız için teşekkür etmek istiyorum. Ama hala biraz kafam karıştı. Lütfen denklem numaraları ekleyebilir ve sonraki ikamelerde önceki denklemleri nereye uyguladığınızı belirtebilir misiniz? Her şey anlamlı olmaya başlıyor, ama hala 've' den sonra eşitsizliği göremiyorum ve paydada yerine koyduğunuz kısım ve her şey eşitsizliğe dönüşüyor. Makaleden alıntılanan argümanın matematiksel olarak nasıl çevrildiğine dair bir açıklama yapmayı düşünüyorum. Tekrar teşekkürler!

— Sakurabe

@ Sakurabe: daha iyi?

— Francis

Tamam, şimdi kanıtların birbirini nasıl güçlendirdiğini anladım. Son soru, paydadan düşürdük mü? Bir teorem ya da herhangi bir şey olmadan damla olarak? Yani, sonuçta ortaya çıkan eşitsizliği (2) 'den tersine çevirmeyeceği için bir anlam ifade ediyor, ayrıca daha önce bir örnekte sadece bir DNA kanıtı içeren (paydadaki +1 ile) yaptıklarını varsaydım. ). Teşekkürler, yardımlarınız için gerçekten minnettarım.

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$

— Sakurabe

@ Sakurabe: Evet, çünkü bu terim negatif değil, bu yüzden düşürmek paydayı azaltacaktır.

— Francis