Negatif olmayan tamsayılarda ayrık dağılımdan nasıl örnek alınır?

10

Aşağıdaki bağımsız dağıtım var, burada bilinen sabitler: $\alpha,\beta$

p (x; α, β) = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} için x = 0, 1, 2, ...

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

Bu dağıtımdan etkili bir şekilde örnekleme için bazı yaklaşımlar nelerdir?

— jii
kaynak

9

Bu, Wikipedia gösterimini kullanarak, sizin durumunuzda parametresi ile bir Beta negatif binom dağılımıdır . Ayrıca bir tamsayı olduğunda Beta-Pascal dağılımını da adlandırır . Bir yorumda belirttiğiniz gibi, bu başarı olasılığından önce konjugat Beta ile Bayes negatif binom modelinde öngörücü bir dağılımdır. $r=1$ $r$

Böylece bunu bir değişkeni örnekleyerek ve sonra negatif bir binomial değişkeni örnekleyerek ( örneğinizde ile, yani geometrik dağılım söylemek). $\text{Beta}(\alpha,\beta)$ $u$ $\text{NB}(r,u)$ $r=1$

Bu dağıtım R paketinde uygulanır brr. Örnekleyicinin adı rbeta_nbinom, pmf'nin adı dbeta_nbinomvb. Gösterimler , , . Kontrol: $a=r$ $c=\alpha$ $d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

Koda bakıldığında, aslında paketin ghyper(genelleştirilmiş hipergeometrik) dağılım ailesini çağırdığını görebilirsiniz SuppDists:

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

Ineed, BNB dağılımı tip IV genelleştirilmiş hipergeometrik dağılım olarak bilinir . Yardımına bakın ghyperiçinde SuppDistspaketin. Bunun Johnson & al'ın Univariate Discrete Distributions adlı kitabında da bulunabileceğine inanıyorum .

— Stéphane Laurent
kaynak

Bu cevap harika, ancak yayınlanan OP yoğunluğunun negatif binom yoğunluğu ile aynı olduğunu kanıtlarsanız daha da iyi olur.

— Sycorax, Reinstate Monica

1

@ user777 Bence OP'nin yazarı, Xian'ın cevabına (daha önce bir eşlenik Beta ile negatif binom modelinde posterior prediktif dağılım) yaptığı yorumda bunu kanıtladı.

— Stéphane Laurent

10

Verilen

\frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$ ile azalıyor

x

$x$ , Tekdüze bir değişken oluşturmayı öneririm

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$ ve birikmiş meblağların hesaplanması

S_{k} = Σ_{x = 0}^{k} \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$ a kadar

S_{k} > u

$S_k>u$ Daha sonra gerçekleşme karşılık gelen

k

$k$ . Dan beri

\begin{aligned} {R,}_{x} & = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} \\ = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β} \\ = \frac{α + β + x - 1}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} {R,}_{x - 1} \\ = \frac{β + x - 1}{α + β + x} {R,}_{x - 1} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$ ve

S_{k} = S_{k} - 1 + {R,}_{k}

$S_k=S_k-1+R_k$ hesaplama Gama işlevlerini tamamen kullanmaktan kaçınabilir.

— Xi'an
kaynak

1

(+1) Kullanma

S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$ işi büyük ölçüde hızlandıracak.

— whuber

1

Düzenleme yeniden: Gamma fonksiyonlarını istismar yine de çözme için yararlı olacaktır şüpheli

k

$k$ açısından

u

$u$ ,

α

$\alpha$ , ve

β

$\beta$ . Örneğin,

u

$u$ Stirling Formülünü kullanarak

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$ ve

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$ ve bunu birkaç Newton-Raphson adımı ile parlatıyor. Bunlar log Gamma ve türevinin değerlendirilmesine ihtiyaç duyar. Tabi eğer

α

$\alpha$ ve

β

$\beta$ o zaman çözüm bir polinomun köküdür - ama o zaman bile Gamma'yı kullanmak hala bir yol olabilir.

— whuber

1

Mükemmel cevap! SL tarafından verilen yanıtı kabul ettim, çünkü dikkatimi çeken önemli bir noktaya (orijinal sorunun bir parçası değil), posterior öngörücüden örneklemenin parametreyi posteriordan örneklemeye, sonra da olasılıktan verileri örneklemeye eşdeğerdir. Özellikle, yukarıdaki dağılım fonksiyonu, parametreden önce Beta ile bir Geometrik verinin posterior öngörüsüdür

p

$p$ .

— jII