Normal normal değişkenlerin toplamının normal olması için eklem normallik gerekli bir koşul mudur?

13

Aşağıdaki yorumlarda benim bu cevabı ilgili soruya, kullanıcılar ssdecontrol ve Glen_b ortak normallik olup olmadığını sordu ve toplamının normalliği iddia için gerekli olan ? Bu ortak normallerin yeterli olduğu elbette iyi bilinmektedir. Bu ek soru orada ele alınmadı ve belki de kendi başına düşünmeye değer. $X$ $Y$ $X+Y$

Ortak normallik marjinal normallik anlamına geldiğinden, soruyorum

Normal rasgele değişkenler biri var mı ve öyle ki normal rasgele değişken olmakla birlikte, ve olan değil ortaklaşa normal rasgele değişkenler? $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

Eğer ve , normal dağılımlar olması gerekmez, o zaman böyle Normal rasgele değişkenleri bulmak kolaydır. Bir önceki yanıtımda bir örnek bulunabilir (bağlantı yukarıda verilmiştir). Yukarıda vurgulanan sorunun cevabının Evet olduğuna ve bu soruya bir cevap olarak (düşündüğüm gibi) bir örnek gönderdiğine inanıyorum. $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
kaynak

2

Dejenere dağılımlarla nasıl başa çıkmak istiyorsunuz? Örneğin, standart bir normal ve , ve eklem dağılımı dejenere normal dağılım ve standart normaldir.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

— Brian Borchers

@BrianBorchers ve olan dağıtım Dediğiniz gibi dejenere olmasına rağmen ortaklaşa normal rasgele değişkenler. Eklem normallerinin standart tanımı, nin tüm seçimleri için normal olması durumunda ve ortak normal . Burada, yine de nezaket olarak normal rastgele değişken olarak adlandırılan dejenere bir durumdur.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$

— Dilip Sarwate

11

Let iid olduğu . $U,V$ $N(0,1)$

Şimdi ' ye aşağıdaki gibi dönüştürün: $(U,V) \to (X,Y)$

İlk çeyrekte (yani ) ve . $U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

Diğer kadranlar için, bu eşlemeyi başlangıç noktasıyla ilgili olarak döndürün.

Ortaya çıkan iki değişkenli dağılım aşağıdaki gibi görünür (yukarıdan görülür):

$\hspace{1.5 cm}$

- mor, iki katına çıkma olasılığı olan bölgeleri temsil eder ve beyaz bölgeler, olasılığı olmayan bölgelerdir. Siyah daireler sabit yoğunluklu konturlardır (çemberin için her yerinde , ancak için her renkli bölgede ). $(U,V)$ $(X,Y)$

Simetri ile hem ve , normal standart (dikey bir çizgi seyir veya bir yatay hat boyunca elbette yatay veya dikey hat haç eksen boyunca ters çevrilmiş edilmiş olarak kabul edilebilir her beyaz biri için, mor bir nokta vardır) $X$ $Y$
ancak açıkça iki değişkenli normal değildir ve $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ olan (eşdeğer olarak, sabitinin çizgileri boyunca bakın ve 1.'de tartıştığımıza benzer simetriye sahip olduğumuzu görün, ancak bu sefer çizgisi) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

1

+1 ve Kabul; Bu yapı kendi cevabımdaki yapıdan çok daha güzel!

— Dilip Sarwate

5

Birlikte sürekli rastgele değişkenler göz önünde eklem yoğunluk fonksiyonu ile burada standart normal yoğunluk işlevini gösterir. $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Açıktır ve olan bağımlı rastgele değişkenler. Ayrıca, bunların ortak normal normal değişkenler olmadığı da açıktır . Bununla birlikte, her üç çifti vardır , ikili bağımsız bir rastgele değişkenler: aslında, bağımsız standart normal rastgele değişkenler (ve dolayısıyla ikili birlikte normal rasgele değişkenler). Kısacası, ikili bağımsız fakat karşılıklı bağımsız olmayan normal rastgele değişkenlere bir örnektir. Daha fazla ayrıntı için bu cevabıma bakın. $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

İkili bağımsızlığın bize ve varyans ile sıfır ortalama normal rasgele değişkenler verdiğine dikkat edin . Şimdi tanımlayalım ve de varyans ile sıfır-ortalama normal rastgele değişken olduğuna dikkat edelim . Ayrıca, ve dolayısıyla ve , bağımlı ve ilişkili rastgele değişkenlerdir. $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ ve , müşterek olarak normal olmayan, ancak toplamları normal rastgele değişken olduğu özelliğine sahip (ilişkili) normal rastgele değişkenlerdir. $Y$ $X+Y$

Başka bir deyişle, ortak normallik, normal rasgele değişkenlerin bir toplamının normalliğini iddia etmek için yeterli bir koşuldur, ancak gerekli bir koşul değildir .

Kanıt ve birlikte, normal olmayan $X$ $Y$
dönüşüm yana bu elde etmek kolaydır, doğrusal . Bu nedenle Ancak değerinin yalnızca tam olarak bir tane olduğunda sıfırdan farklı olduğu özelliğine sahiptir veya üç argümanı da negatif değildir. Şimdi diyelim ki . Daha sonra, değerine sahip olduğu için $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ ve aksi takdirde . Yani, , Şimdi, ve böylece dışarı genişleterek ve bunu yaparken bazı yeniden düzenlenmesi de integraller arasında , yazabiliriz burada normal bir rastgele ortalama değişken

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ ve varyans . Köşeli parantez içinde her iki terim de, standart normal CDF dahil her ikisinin de (farklı) fonksiyonlar bağımsız değişken ile ve . Bu nedenle, olduğu değil , her iki halde bir iki değişkenli normal yoğunlukta ve normal rasgele değişkenlerdir, ve bunların toplamı normal bir rasgele değişkendir.

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

Yorum: ve ortak normalliği normalliği için yeterlidir, ancak çok daha fazlasını da ifade eder: nin tüm seçimleri için normaldir . Burada, normal olması için , viz., 'ün sadece üç seçeneğinin göz ardı edildiği ve (marjinal) yoğunluklarının normal yoğunluklar olması gerektiğini ve üçüncüsünün toplamın da normal bir yoğunluğa sahip olması gerektiğini belirtir (örneğin cevabına bakınız ) . Böylece, can $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ olan normal rasgele değişkenler sahip değildir ortaklaşa normaldir ama kimin toplamı biz diğer seçimler için ne olacağı umurumda değil, çünkü normal . $(a,b)$

— Dilip Sarwate
kaynak