Kolaylık sağlamak için, izin yoğunluk fonksiyonu ile göstermektedirler sürekli sıfır ortalama rastgele değişken f ( x ) , ve dikkate P { X ≥ bir } bir > 0 . Biz
p { x ≥ bir } = ∫ ∞ iken bir f ( x )Xf( x )P{ X≥ a }a > 0
burada g ( x ) = 1 [ a , ∞ ) . Eğer n, bir olduğunudatam sayı ve b pozitif reel sayı, o
h ( x ) = ( x + b
P{ X≥ a } = ∫∞birf(x )d x= ∫∞-∞g( x) f(x )g x = E[ g(X) ]
g( x ) = 1[ a , ∞ )nb
ve bu yüzden
E[h(x)]=∫ ∞ - ∞ h(x)f(x)h ( x ) = ( x + ba + b)n≥ g( x ) , - ∞ < x < ∞ ,
Böylece,
a ve
b pozitif tüm sayılar
için P { X ≥ a } ≤ E [ ( X + bE[ h ( X) ] = ∫∞- ∞h ( x ) f( x )d x≥ ∫∞- ∞g( x ) f( x )d x=E[ g( X) ] .
birb
en sağdaki beklenti
(1)olup
, n-inci momenti (
nbile)
Xhakkında
-b.
N=2olduğunda,
p{X≥a}üzerindeki en küçük üst sınır
b=σ2olduğunda elde edilir
P{ X≥ bir } ≤ e[ ( X+ ba + b)n] =(a+b )- nE[ ( X+ b )n](1)
( 1 )nnX- bn = 2P{ X≥ a } tek taraflı Chebyshev eşitsizliğini (veya Chebyshev-Cantelli eşitsizliğini) veren:
P { X ≥ a } ≤ σ 2b = σ2/ a
Daha büyük
ndeğerleriiçin,
b'yegöre minimizasyondaha karışıktır.
P{ X≥ bir } ≤ σ2bir2+ σ2.
nb