Daha yüksek bir an için tek taraflı Chebyshev eşitsizliği


12

Chebyshev'in tek taraflı davadaki eşitsizliklerinin daha yüksek olduğu bir analogu var mı?

Chebyshev-Cantelli eşitsizliği sadece varyans için işe yararken, Chebyshevs eşitsizliği tüm üsler için kolayca üretilebilir.

Daha yüksek anları kullanan tek taraflı bir eşitsizlik bilen var mı?

Yanıtlar:


20

Kolaylık sağlamak için, izin yoğunluk fonksiyonu ile göstermektedirler sürekli sıfır ortalama rastgele değişken f ( x ) , ve dikkate P { X bir } bir > 0 . Biz p { x bir } = ∞ iken bir f ( x )Xf(x)P{Xbir}bir>0 burada g ( x ) = 1 [ a , ) . Eğer n, bir olduğunudatam sayı ve b pozitif reel sayı, o h ( x ) = ( x + b

P{Xbir}=birf(x)dx=-g(x)f(x)dx=E[g(X)]
g(x)=1[bir,)nb ve bu yüzden E[h(x)]=- h(x)f(x)
h(x)=(x+bbir+b)ng(x),-<x<,
Böylece, a ve b pozitif tüm sayılar için P { X a } E [ ( X + b
E[h(X)]=-h(x)f(x)dx-g(x)f(x)dx=E[g(X)].
birb en sağdaki beklenti(1)olup, n-inci momenti (nbile)Xhakkında-b. N=2olduğunda,p{Xa}üzerindeki en küçük üst sınır b=σ2olduğunda elde edilir
(1)P{Xbir}E[(X+bbir+b)n]=(bir+b)-nE[(X+b)n]
(1)nnX-bn=2P{Xbir} tek taraflı Chebyshev eşitsizliğini (veya Chebyshev-Cantelli eşitsizliğini) veren: P { X a } σ 2b=σ2/bir Daha büyükndeğerleriiçin,b'yegöre minimizasyondaha karışıktır.
P{Xbir}σ2bir2+σ2.
nb
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.