Daha yüksek bir an için tek taraflı Chebyshev eşitsizliği

Chebyshev'in tek taraflı davadaki eşitsizliklerinin daha yüksek olduğu bir analogu var mı?

Chebyshev-Cantelli eşitsizliği sadece varyans için işe yararken, Chebyshevs eşitsizliği tüm üsler için kolayca üretilebilir.

Daha yüksek anları kullanan tek taraflı bir eşitsizlik bilen var mı?

Kolaylık sağlamak için, izin yoğunluk fonksiyonu ile göstermektedirler sürekli sıfır ortalama rastgele değişken f ( x ) , ve dikkate P { X ≥ bir } bir > 0 . Biz p { x ≥ bir } = ∫ ∞ iken bir f ( x $X$$f(x)$$P\{X \geq a\}$$a > 0$ burada g ( x ) = 1 [ a , ∞ ) . Eğer n, bir olduğunudatam sayı ve b pozitif reel sayı, o h ( x ) = ( x +

$$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$$ $g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$$n$$b$ ve bu yüzden E[h(x)]=∫ ∞ - ∞ h(x)f(x $$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$$ Böylece, a ve b pozitif tüm sayılar için P { X ≥ a } ≤ E [ ( X + $$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$$ $a$$b$ en sağdaki beklenti(1)olup, n-inci momenti (nbile)Xhakkında-b. N=2olduğunda,p{X≥a}üzerindeki en küçük üst sınır b=σ2olduğunda elde edilir $$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$$ $(1)$$n$$n$$X$$-b$$n = 2$$P\{X \geq a\}$ tek taraflı Chebyshev eşitsizliğini (veya Chebyshev-Cantelli eşitsizliğini) veren: P { X ≥ a } ≤ σ $b = \sigma^2/a$ Daha büyükndeğerleriiçin,b'yegöre minimizasyondaha karışıktır. $$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$$ $n$$b$