Biz var rastgele deney farklı olan sonuçların oluşturan örnek uzay $\Omega,$ denilen biz belli kalıplarını ilgiyle bakmak hangi, olaylar $\mathscr{F}.$ Sigma-cebirleri (veya sigma-alanları) , bir olasılık ölçüsü $\mathbb{P}$ atanabileceği olaylardan oluşur . Boş kümenin $\varnothing$ ve tüm örnek uzayının dahil edilmesi ve Venn diyagramlarıyla sendikaları ve kavşakları tanımlayan bir cebir dahil belirli özellikler yerine getirilir .

Olasılık, $\sigma$ algebra ve aralık $[0,1]$ arasında bir fonksiyon olarak tanımlanır . Hep birlikte, üçlü $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ bir oluşturan olasılık alanı .

Biri düz İngilizce dilinde, eğer bir $\sigma$ -algebra olmasaydı olasılık binanın neden çökeceğini açıklayabilir mi? Sadece bu imkansız kaligrafi "F" ile ortasında sıkışmış. Gerekli olduklarına inanıyorum; Bir olayın sonuçtan farklı olduğunu görüyorum, ancak $\sigma$ -algebras olmadan ne ters gidecekti ?

Soru şudur: Ne tür olasılık problemlerinde $\sigma$ -algebra içeren bir olasılık uzayının tanımı bir zorunluluk haline gelir?

Dartmouth Üniversitesi web sitesinde yer alan bu çevrimiçi belge, İngilizce dilinde erişilebilir bir açıklama sağlar. Fikir, birim çevre dairesinde saat yönünün tersine dönen bir eğirme işaretçisidir :

Birim çevre çemberinden ve [Şekil] 'de gösterildiği gibi bir göstergeden oluşan bir eğirici oluşturarak başlıyoruz. Çember üzerindeki bir noktayı seçip $0$ etiketledik ve sonra dairedeki diğer her noktayı $x$ , $0$ dan o noktaya kadar olan, saat yönünün tersine ölçülen mesafeyle etiketledik . Deney, işaretçiyi döndürmek ve işaretçinin ucundaki noktanın etiketini kaydetmekten ibarettir. Rastgele değişkeni $X$ bu sonucun değerini göstermesine izin veriyoruz . Örnek alanı açıkça aralıktır $[0,1)$. Her sonucun ortaya çıkması için eşit derecede muhtemel olan bir olasılık modeli oluşturmak istiyoruz. Sınırlı sayıda olası sonucu olan deneyler için […] yaptığımız gibi devam edersek, o zaman her sonuca $0$ olasılık vermeliyiz , çünkü aksi takdirde, olası sonuçların tümü üzerinde olasılıkların toplamı olmaz. eşit 1. (Aslında, gerçek sayılar bir sayılamaz sayıda toplanmasıyla zor bir iş, özellikle de sırayla bir toplamı için herhangi bir anlama sahiptir, en çok sayılabilir summands birçok farklı olabilir $0$ ). Ancak, eğer Atanan olasılıkların tümü $0$ , sonra toplam olması gerektiği gibi 1 değil , $0$ .$1$

Eğer her noktaya herhangi bir olasılık atadıysak ve (sayılamayan) sonsuz sayıda nokta olduğu düşünüldüğünde toplamları $> 1$ .

Xi'an'ın ilk noktası: σ hakkında konuşurken$\sigma$ -algebralardan , ölçülebilir kümeler hakkında soru soruyorsun, ne yazık ki herhangi bir cevap ölçü teorisine odaklanmalı. Yine de, bunu yavaşça yapmaya çalışacağım.

Sayılamayan kümelerin tüm alt kümelerini kabul eden bir olasılık teorisi matematiği kıracak

$\mathbb{R}^2$

Ancak, ilgi grubunun alanı iyi tanımlanmadıysa ne olur?

$P(A)=1$$P(A)=0$$0=1$$5<0$

$\sigma$

$\sigma$$\mathscr{F}$$\sigma$ -algebralar matematiğin bazı patolojik davranışlarından, yani ölçülemeyen kümelerden kaçınmamızı sağlayan "yama" dır.

$\sigma$$\sigma$

1. Sayılabilir sendikalar altında kapanma.
2. Sayılabilir kavşaklarda kapanma.
3. Tamamlayıcılar altında kapatma.

$P(A)=2/3$$P(A^c)$$1/3$$P(A^c)$$P(A\cup A^c)=P(A)+1-P(A)=1$

$\Omega$$\Omega\in\mathscr{F}$

$\sigma$

$\sigma$$\mathscr{F}=2^\Omega$$\Omega$$\Omega$$2^\Omega$ sadece ölçülebilir kümeler oluşur. (Bu Xi'an'ın ikinci yorumunda değinilir.) Bazı ders kitaplarının burada gerçekten ince bir el çabukluğu yapacağını fark edeceksiniz ve yalnızca olasılık alanlarını tartışırken sayılabilir kümeleri dikkate alacağınızı fark edeceksiniz.

$\mathbb{R}^n$$\sigma$$\mathcal{L}^n$$\mathcal{L}^n$$n=1,2,3$ uzunluğu, alan ve hacim her zamanki kavramları karşılık gelir. Öyleyse önceki örnekte demek istediğim, kümenin kendisine atanmış bir geometrik olasılık için iyi tanımlanmış bir alana sahip olması gerektiğidir. Sebep şudur: ölçülemeyen kümeleri kabul edersek, o zaman bazı olaylara olasılık 1, bazı kanıtlara dayanarak ve olasılık 0 -

$\sigma$

Bu yüzden, pratik bir mesele olarak, basitçe gözlem yapmak, yalnızca Lebesgue ölçülebilir kümelerini ilgilendiğiniz soruna karşı yol almak için göz önünde bulundurduğunuz gözlemi yapmak için yeterlidir.

Ama bekle, ölçülemez bir set nedir?

Korkarım bu konuda sadece biraz ışık tutabilirim. Ancak Banach-Tarski paradoksunu (bazen "güneş ve bezelye" paradoksunu) bize bazılarında yardımcı olabilir:

3 boyutlu uzayda sağlam bir top göz önüne alındığında, topun sınırlı sayıda ayrık alt kümeye ayrışması söz konusudur, bu daha sonra orijinal topun iki özdeş kopyasını elde etmek için farklı bir şekilde bir araya getirilebilir. Gerçekten de, yeniden birleştirme işlemi, şekillerini değiştirmeden sadece parçaların etrafından dolaştırılmasını ve döndürülmesini içerir. Bununla birlikte, parçaların kendisi her zamanki anlamda "katı" değildir, fakat noktaların sonsuz saçılımıdır. Yeniden yapılanma, en az beş parça ile çalışabilir.

Teorinin daha güçlü bir şekli, herhangi iki "makul" katı cisim (küçük bir top ve büyük bir top gibi) verildiğinde, birinin bir diğerine birleştirilebileceği anlamına gelir. Bu genellikle gayrı resmi olarak “bir bezelye doğrayabilir ve Güneş'e tekrar monte edilebilir” olarak adlandırılır ve “bezelye ve Güneş paradoksu” olarak adlandırılır. 1

$\mathbb{R}^3$$S\in\Omega$$S$$V(S)>V(\Omega)$$P(S)>1$

Bu paradoksu çözmek için dört tavizden biri yapılabilir:

1. Bir setin sesi döndürüldüğünde değişebilir.
2. İki ayrık kümenin birliğinin hacmi, hacimlerinin toplamından farklı olabilir.
3. Zermelo-Fraenkel kümesinin teorisi, Seçim aksiyomuyla (ZFC) teoriyi değiştirmek zorunda kalabilir.
4. Bazı kümeler "ölçülemez" olarak etiketlenmiş olabilir ve bir sesin hacmi hakkında konuşmadan önce bir kümenin "ölçülebilir" olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir.

$\sigma$

$[0,18), [18, 25), [25,34), \dots$$(\Omega,F)$$F$$[18,25)$$[20,30)$$[20,30)$$F$

$(\Omega', F')$$f:$$f^{-1}(1)$$F$$f$

$F$$F$$A$$B$$A \cap B$$A \cup B$. Şimdi, sayılabilir kavşaklar ve sendikalar için kapalılık istemek sayılabilir bağlaçlar veya ayrılmalar sormamıza izin veriyor. Ve bir soruyu reddetmek tamamlayıcı küme ile temsil edilir. Bu bize bir sigma cebiri veriyor.

Bu tür bir tanıtımı ilk olarak Peter Whittle'ın "Beklenti Üzerinden Olasılık" (Springer) kitabının ilk kitabında gördüm.

DÜZENLE

$i$$i$$\sigma$$\sigma$$n$$\sigma$$n$$\sigma$

Fakat gerçekten büyük sayıların güçlü yasasına ihtiyacımız var mı? Burada bir cevaba göre , belki de değil.

$n$$n$

$\sigma$

$\sigma$

$\sigma$$A \cup B$$(A\cup B)\cap C$

İlk aksiyom bu ∅, 𝑋∈𝜎. Peki, HER ZAMAN hiçbir şeyin olmaması ihtimalini (0) veya olanları (1) biliyorsunuz.

İkinci aksiyom tamamlayıcılar altında kapatılır. Bana aptal bir örnek vereyim. Yine, coin = {𝐻, 𝑇} ile yazı tura çeviriniz. Bu çevirinin cebirinin {∅, 𝑋, {𝐻}} olduğunu söylemiştim. Yani, hiçbir şey olmama, bir şeyler olma ve kafaların olasılığını biliyorum ama bir kuyruk olasılığını da bilmiyorum. Haklı olarak bana moron derdin. Çünkü bir kafaların olasılığını biliyorsanız, otomatik olarak bir kuyruk olasılığını bilirsiniz! Bir şeyin olma olasılığını biliyorsanız, bunun OLMAMASI olasılığını bilirsiniz (tamamlayıcı)!

Son aksiyom sayılabilir sendikalar altında kapalı. Sana başka bir aptal örnek vereyim. Bir kalıp rulosunu düşünün veya 𝑋 = {1,2,3,4,5,6}. Ya bunun için the cebirini söylersem, {∅, 𝑋, {1}, {2}} olur. Yani, 1 veya 2 haddeleme olasılığını biliyorum, ancak 1 veya 2 haddeleme olasılığını bilmiyorum. Yine, bana haklı olarak aptal diyeceksin (umarım nedeni açıktır). Setler birbirinden ayrık olmadığı zaman ne olur ve sayılamayan sendikalarda olan şey biraz dağınıktır, ancak bazı örnekler düşünmeyi deneyebilirsiniz.

$\sigma$

Tamamen temiz bir durum değil, ancak bunun nedenleri için sağlam sebepler var .

Neden olasılık uzmanlarının önlem alması gerekiyor?

$\sigma$$\sigma$$P$

İnsanlar neden önlem teorisine ihtiyacınız olduğunu açıklamak için Vitali'nin setini ve Banach-Tarski'yi getirdiler, ama bence bu yanıltıcı . Vitali'nin seti yalnızca çeviri alanlarının gerektirmeyen ve önemsiz alanların gerektirmediği (önemsiz) önlemler için ortadan kalkar. Ve Banach-Tarski, rotasyon değişmezliği gerektiriyor. Analiz insanlar onları önemseyen ama probabilists aslında yok .

Varlık nedeni olasılık teorisi ölçü teorinin sadece uğramamış karıştırılır RV ve RVs izin ayrıca kesikli ve sürekli RV'lerin tedavi birleştirmek ve etmektir.