Bu dağıtımın bir adı var mı?

23

Bugün aklıma geldi , Gauss ve Laplace dağılımları arasında,veiçin bir uzlaşma olarak görülebilir.Böyle bir dağılımın bir adı var mı? Ve normalizasyon sabiti için bir ifadesi var mı? Analiz beni güdük ediyor, çünküintegralde için nasıl çözülmeye başlayacağımı bile bilmiyorum

f (x) \propto \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = C \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β}) d x

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

— Sycorax diyor Reinstate Monica
kaynak

34

Kısa cevap

Tanımladığınız pdf, en uygun haliyle bir Subbotin dağılımı olarak bilinir ... 1923'te, aynı fonksiyon biçimine sahip olan Subbotin tarafından yazılmış makaleye bakın, deyin . $Y = X-\mu$

Subbotin, MT (1923), Hata sıklığı yasası üzerine, Matematicheskii Sbornik, 31, 296-301.

pdf'ye 5. formundaki denkleminde giren:

f (y) = K \exp [- {(\frac{| y |}{σ})}^{p}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

entegrasyon sabiti ile: Xian'ın türetilmesine göre $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ $\beta = \sigma^p$

Daha uzun cevap

Vikipedi ne yazık ki her zaman 'güncel' değil, doğru, ya da bazen zamanın sadece 80 yıl gerisinde. Subbotin'den (1923) sonra, aşağıdakiler dahil olmak üzere literatürde yaygın olarak kullanılmıştır:

Diananda, PH (1949), Azami olabilirlik tahminlerinin bazı özellikleri hakkında not, Cambridge Felsefe Derneği Bildirileri, 45, 536-544.
Turner, ME (1960), Sezgisel tahmin yöntemleri, Biometrics, 16 (2), 299-301.
Zeckhauser, R. ve Thompson, M. (1970), Normal olmayan hata terimleriyle doğrusal regresyon, Ekonomi ve İstatistiğin Gözden Geçirilmesi, 52, 280-286.
McDonald, JB ve Newey, WK (1988), Genelleştirilmiş t dağılımı ile regresyon modellerinin kısmen uyarlamalı tahmini, Econometric Theory, 4, 428-457.
Johnson, NL, Kotz, S. ve Balakrishnan, N. (1995), Sürekli Tek Değişkenli Dağılımlar, cilt 2, 2. baskı, Wiley: New York (1995, s.422)
Mineo, AM ve Ruggieri, M. (2005), Üstel Güç dağılımı için bir yazılım aracı: normal paket, İstatistiksel Yazılım Dergisi, 12 (4), 1-21.

... tümü Wiki'de referans verilen makaleden önce. 80 yıldan eski olmasının yanı sıra, Wiki'de 'Genelleştirilmiş Normal' olarak kullanılan isim de uygun gözükmüyor çünkü Normal'in genelleştirilmesi olan dağılımların sonsuzluğu var ve bu ad her durumda literatürde belirsiz. Aynı zamanda asıl yazarı kabul etmekte başarısız olur.

— Wolfies
kaynak

17

\int_{0}^{\infty} \exp {- x^{p}} d x \overset{y = x^{p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} | \frac{d x}{d y} | d y \overset{x = y^{1 / p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} \frac{1}{p} y^{\frac{1}{p} - 1} d y = Γ (1 / p) \frac{1}{p}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$

\int_{- \infty}^{\infty} \exp {- β^{- 1} | x - μ |^{p}} d x = \frac{2 Γ (1 / p)}{p} β^{1 / p}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

— Xi'an
kaynak

2

D'oh. Tabii ki. Ve bir ismin olup olmadığını bilme şansın var mı?

— Sycorax, Monica

1

[Weibull ve Fréchet dağılımları] ( en.wikipedia.org/wiki/… ) ile bir şekilde bağlantılıdır , ancak bunlar üstelin önünde bir güç terimine sahiptir. Böylece, ikinci dereceden olan mesafenin başka bir metrik için Gauss dağılımından daha fazla olduğu söylenebilir.

— Xi'an

1

+1 Buna "güç Gama" dağıtımı denemek yanlış olmaz.

— whuber

13

Wikipedia'ya göre, bu Genelleştirilmiş normal dağılım (makalede sürüm 1) ve kısıtlama olarak bilinir. $p\in [1,2]$ gerekli değildir, ancak herhangi bir pozitif değer iyi.

Wikipedia'da verilen referans Saralees Nadarajah'tır (2005) Genelleştirilmiş normal dağılım , Uygulamalı İstatistik Dergisi, 32: 7, 685-694, DOI: 10.1080 / 02664760500079464. Bu makale normalizasyon sabitinin 'basit entegrasyon' tarafından bulunduğundan bahsetmektedir.

— Juho Kokkala
kaynak