Yalnızca minimum / maksimum değerin bilindiği veriler için istatistiksel yöntemler

Kesin değerlerin bilinmediği verilerle ilgilenen bir istatistik dalı var mı , ancak her birey için değere bağlı bir maksimum veya minimum değer biliyoruz ?

Sorunumun büyük ölçüde onu istatistiksel terimlerle ifade etmek için mücadele etmemden kaynaklandığından şüpheliyim, ancak umarım bir örnek açıklığa kavuşturmaya yardımcı olacaktır:

Diyelim ki iki ve topluluğu var, öyle ki, bir noktada üyeleri “geçiş yapabilir” , ancak bunun tersi mümkün değildir. Geçişin zamanlaması değişkendir, fakat rastgele değildir. Örneğin, "çocuğu olmayan bireyler" ve "en az bir çocuğu olan bireyler" olabilir. Bu ilerlemenin gerçekleştiği yaşa ilgi duyuyorum ama yalnızca kesitsel verilerim var. Herhangi bir birey için, onların veya ait olup olmadığını öğrenebilirim . Ayrıca bu kişilerin yaşlarını da biliyorum. popülasyonundaki her birey içinB A B A B A B A $A$$B$$A$$B$$A$$B$$A$$B$$A$, Geçiş çağındaki yaşın şu andaki yaşından daha büyük olacağını biliyorum. Aynı şekilde, üyeleri için , geçiş çağındaki yaşın şu andaki yaşından az olduğunu biliyorum. Ama kesin değerleri bilmiyorum.$B$

Diyelim ki geçiş yaşıyla karşılaştırmak istediğim başka bir faktör var. Örneğin, bir bireyin alt türlerinin mi yoksa vücut boyutunun ilk yavru yaşını mı etkilediğini bilmek istiyorum. Kesinlikle bu soruları bilgilendirmesi gereken bazı yararlı bilgilerim var: ortalama olarak, bireylerin, yaşlı bireylerin daha sonraki bir geçişi olacak. Ancak bilgiler , özellikle genç bireyler için mükemmel değildir. Ve popülasyonu için tam tersi .$A$$B$

Bu tür verilerle ilgilenmek için belirlenmiş yöntemler var mı? Böyle bir analizin nasıl yapılacağına dair tam bir yönteme ihtiyacım yok, beni doğru yerde başlatmak için sadece bazı arama terimleri veya faydalı kaynaklar!

Uyarılar: Ben geçiş olduğunu basitleştirilmesi varsayım yapıyorum için anlıktır. Ayrıca, çoğu insanın yeterince yaşadıklarını düşünerek bir noktada ilerleyeceğini varsaymaya da hazırım . Longitutinal verilerin çok faydalı olacağını biliyorum, ancak bu durumda mevcut olmadığını varsayıyorum.B $A$$B$$B$

Söylediğim gibi, bunun bir kopyası olması için özür dilerim, sorunumun bir parçası ne aramam gerektiğini bilmiyorum. Aynı nedenle, lütfen uygunsa başka etiketler ekleyin.

Örnek veri kümesi: Ssp, veya olmak üzere iki alt türden birini gösterir . Yavrular, yavru ( ) olmadığını veya en az bir yavru ( ) olduğunu gösterir.Y, A $X$$Y$$A$$B$

 age ssp offsp
  21   Y     A
  20   Y     B
  26   X     B
  33   X     B
  33   X     A
  24   X     B
  34   Y     B
  22   Y     B
  10   Y     B
  20   Y     A
  44   X     B
  18   Y     A
  11   Y     B
  27   X     A
  31   X     B
  14   Y     B
  41   X     B
  15   Y     A
  33   X     B
  24   X     B
  11   Y     A
  28   X     A
  22   X     B
  16   Y     A
  16   Y     B
  24   Y     B
  20   Y     B
  18   X     B
  21   Y     B
  16   Y     B
  24   Y     A
  39   X     B
  13   Y     A
  10   Y     B
  18   Y     A
  16   Y     A
  21   X     A
  26   X     B
  11   Y     A
  40   X     B
   8   Y     A
  41   X     B
  29   X     B
  53   X     B
  34   X     B
  34   X     B
  15   Y     A
  40   X     B
  30   X     A
  40   X     B

Düzenleme: örnek veri kümesi çok temsili olmadığı için değişti

Buna mevcut durum verileri denir . Verilerin kesitsel bir görüntüsünü alırsınız ve yanıtla ilgili olarak, bildiğiniz tek şey, her konunun gözlemlenen yaşında, olayın (sizin durumunda: A'dan B'ye geçiş) gerçekleştiği ya da olmadığıdır. Bu özel bir aralıklı sansür uygulamasıdır .

Resmi olarak tanımlamak için, konu (gözlemlenmemiş) gerçek olay zamanı olmasına izin verin . konusunun inceleme zamanını verin (sizin durumunda: muayene sırasındaki). Eğer ise, veriler doğru sansürlenir . Aksi takdirde veriler sansürlenir . dağılımının modellenmesinde ilginçtir . Regresyon modelleri için, bu dağılımın bir dizi ortak değişken olan ile nasıl değiştiğini modellemekle ilgileniyoruz .$T_i$$i$$C_i$$i$$C_i < T_i$$T$$X$

Bunu, aralıklı sansürleme yöntemlerini kullanarak analiz etmek için, verilerinizi genel sansürleme formatına koymak istiyorsunuz. Kendisine, her bir hasta için, biz intervalinde bildiğimiz hangi aralığını temsil eder, ihtiva edilecek. Konu Yani eğer sağ denetim süresi en sansürlü biz yazıyormuş . sansürlenmiş , onu olarak temsil .$(l_i, r_i)$$T_i$$i$$c_i$$(c_i, \infty)$$c_i$$(0, c_i)$

Utanmaz fiş: Verilerinizi analiz etmek için regresyon modellerini kullanmak istiyorsanız, bu R kullanılarak yapılabilir icenReg (yazar benim). Aslında, mevcut durum verileriyle ilgili benzer bir soruda OP, icenReg kullanmanın iyi bir tanıtımını yaptı . Sansürleme bölümünü görmezden gelmenin ve lojistik regresyon kullanmanın yanlılığa yol açtığını göstererek başlıyor (önemli not: yaşa göre ayarlama yapmadan lojistik regresyon kullanmaya atıfta bulunuyor .).

intervalDiğer araçların yanı sıra log-sıra istatistik testleri içeren bir başka harika paket .

DÜZENLE:

@EdM soruna cevap vermek için lojistik regresyon kullanmayı önerdi. Bunun işlevsel bir şekilde kaygılanması gerektiğini söyleyerek haksız yere küçümsüyordum. Fonksiyonel zaman hakkında endişelenmeniz gereken ifadenin arkasında dururken, makul bir parametrik tahminciye yol açan çok makul bir dönüşüm olduğunu anladım.

Özellikle, logistik regresyonlu modelimizde log (zaman) değişkeni olarak kullanırsak, logistik temelli orantılı bir olasılık modeli ile sonuçlanır.

Bunu görmek için önce orantılı oran regresyon modelinin

$\text{Odds}(t|X, \beta) = e^{X^T \beta} \text{Odds}_o(t)$

burada , zamanında sağkalımın temel oranlarıdır . Regresyon etkilerinin lojistik regresyon ile aynı olduğuna dikkat edin. Şimdi tek yapmamız gereken temel dağılımın log-lojistik olduğunu göstermektir.$\text{Odds}_o(t)$$t$

Şimdi, log (Zaman) ile bir değişken olarak lojistik regresyon düşünün. Biz sonra

$P(Y = 1 | T = t) = \frac{\exp(\beta_0 + \beta_1 \log(t))}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1\log(t))}$

Küçük bir çalışmayla, bunu bir lojistik logistik modelin CDF'si olarak görebilirsiniz (parametrelerin doğrusal olmayan bir dönüşümü ile).

R, uyumların eşdeğer olduğunu kanıtlar:

> library(icenReg)
> data(miceData)
> 
> ## miceData contains current status data about presence 
> ## of tumors at sacrifice in two groups
> ## in interval censored format: 
> ## l = lower end of interval, u = upper end
> ## first three mice all left censored
> 
> head(miceData, 3)
  l   u grp
1 0 381  ce
2 0 477  ce
3 0 485  ce
> 
> ## To fit this with logistic regression, 
> ## we need to extract age at sacrifice
> ## if the observation is left censored, 
> ## this is the upper end of the interval
> ## if right censored, is the lower end of interval
> 
> age <- numeric()
> isLeftCensored <- miceData$l == 0
> age[isLeftCensored] <- miceData$u[isLeftCensored]
> age[!isLeftCensored] <- miceData$l[!isLeftCensored]
> 
> log_age <- log(age)
> resp <- !isLeftCensored
> 
> 
> ## Fitting logistic regression model
> logReg_fit <- glm(resp ~ log_age + grp, 
+                     data = miceData, family = binomial)
> 
> ## Fitting proportional odds regression model with log-logistic baseline
> ## interval censored model
> ic_fit <- ic_par(cbind(l,u) ~ grp, 
+            model = 'po', dist = 'loglogistic', data = miceData)
> 
> summary(logReg_fit)

Call:
glm(formula = resp ~ log_age + grp, family = binomial, data = miceData)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-2.1413  -0.8052   0.5712   0.8778   1.8767  

Coefficients:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)   
(Intercept)  18.3526     6.7149   2.733  0.00627 **
log_age      -2.7203     1.0414  -2.612  0.00900 **
grpge        -1.1721     0.4713  -2.487  0.01288 * 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 196.84  on 143  degrees of freedom
Residual deviance: 160.61  on 141  degrees of freedom
AIC: 166.61

Number of Fisher Scoring iterations: 5

> summary(ic_fit)

Model:  Proportional Odds
Baseline:  loglogistic 
Call: ic_par(formula = cbind(l, u) ~ grp, data = miceData, model = "po", 
    dist = "loglogistic")

          Estimate Exp(Est) Std.Error z-value        p
log_alpha    6.603 737.2000   0.07747  85.240 0.000000
log_beta     1.001   2.7200   0.38280   2.614 0.008943
grpge       -1.172   0.3097   0.47130  -2.487 0.012880

final llk =  -80.30575 
Iterations =  10 
> 
> ## Comparing loglikelihoods
> logReg_fit$deviance/(-2) - ic_fit$llk
[1] 2.643219e-12

Etkisinin grpher modelde aynı olduğunu ve son log olasılığının yalnızca sayısal hatayla değiştiğini unutmayın. Temel parametreler (yani lojistik regresyon için kesişim ve log_age, aralık sansürlü model için alfa ve beta) farklı parametreleştirmelerdir, bu nedenle eşit değildirler.

İşte size: lojistik regresyon kullanmak, orantılı olasılıkları logistik temel dağılımına uydurmaya eşdeğerdir. Bu parametrik modele uymakta sakınca varsa, lojistik regresyon oldukça makul. Aralıklı sansürlü verilerle, yarı parametrik modellerin tipik olarak model uyumunu değerlendirme zorluğundan dolayı tercih edildiğini, ancak gerçekten tam parametrik modeller için yer olmadığını düşündüğümde bunları dahil etmeyeceğime dikkat ediyorum icenReg.

Bu bir sansür / kaba veri durumu. Verilerinizin güzel davranışlı sürekli (vb.) Pdf ve cdf içeren bir dağıtımdan kaynaklandığını düşünün . Olay konusu verinin zamana ilişkin standart çözümü, konusu için bir olayın tam zamanı bilindiğinde, olasılık katkısının . Zamanın sadece (sağ sansür) daha büyük olduğunu , bağımsız sansür varsayımı altında olasılık katkısı . Zamanın (sol sansür) daha az olduğunu , olasılık katkısıF ( x ) x i i f ( x i ) y i 1 - F ( y i ) z i F ( z i ) ( y i , z i ] F ( z i ) - F ( y i$f(x)$$F(x)$$x_i$$i$$f(x_i)$$y_i$$1-F(y_i)$$z_i$$F(z_i)$. Son olarak, eğer zaman belli bir aralığa düşerse , olasılık katkısı .$(y_i, z_i]$$F(z_i)-F(y_i)$

Bu sorun lojistik gerileme ile iyi çözülmüş gibi gözüküyor.

A ve B olmak üzere iki durumunuz var ve belirli bir bireyin A durumundan B durumuna geri dönüşü olmayan bir şekilde geçip geçmediğini incelemek istiyorsunuz. Bir temel belirleyici değişkeni gözlem sırasındaki yaş olacaktır. Diğer faktör veya ilgilenilen faktörler, ek öngörücü değişkenler olacaktır.

Lojistik modeliniz daha sonra, bu tahmincilerin bir fonksiyonu olarak B durumunda olma olasılığını tahmin etmek için A / B durumu, yaşı ve diğer faktörlerin gerçek gözlemlerini kullanır. Olasılığın 0.5'i geçtiği yaş, geçiş zamanının tahmini olarak kullanılabilir ve daha sonra diğer faktör (ler) in bu öngörülen geçiş süresi üzerindeki etkilerini incelerdiniz.

Tartışmaya cevap olarak eklendi:

Herhangi bir doğrusal modelde olduğu gibi, öngörücülerinizin, sonuç değişkenine doğrusal bir ilişki içerecek şekilde dönüştürülmesini sağlamanız gerekir, bu durumda B durumuna geçme olasılığının günlük olasılıkları. önemsiz bir problem. @CliffAB tarafından verilen cevap, yaş değişkeninin log dönüşümünün nasıl kullanılabileceğini gösterir.