Yine bir başka merkezi limit teorem sorusu

11

Let ile bağımsız Bernoulli rastgele değişkenin bir dizi olabilir Takım olduğu göster standart normal değişken dağılımda yakınsak olarak sonsuza eğilimindedir. $\{X_n:n\ge1\}$
$P {X_{k} = 1} = 1 - P {X_{k} = 0} = \frac{1}{k} .$ $P\{X_k=1\}=1-P\{X_k=0\}=\frac{1}{k}.$ $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - \frac{1}{k}), B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k - 1}{k^{2}}$ $S_n=\sum^{n}_{k=1}\left(X_k-\frac{1}{k}\right), \ B_n^2=\sum^{n}_{k=1}\frac{k-1}{k^2}$ $\frac{S_n}{B_n}$ $Z$ $n$

Benim girişimi bu nedenle bir vardır göstermek gerekir, Lyapunov CLT kullanmaktır $\delta>0$ öyle ki

lim_{n \to \infty} \frac{1}{B_{n}^{2 + δ}} \sum_{k = 1}^{n} E [| X_{k} - \frac{1}{k} |^{2 + δ}] = 0.

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{n}E[|X_k-\frac{1}{k}|^{2+\delta}]=0.$

Öyleyse $\delta=1$

\sum_{k = 1}^{n} E {| X_{k} - k^{- 1} |}^{3} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{2}{k^{4}})

$\sum_{k=1}^{n}E\left|X_k-k^{-1}\right|^{3}=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{3}{k^2}+\frac{4}{k^3}-\frac{2}{k^4}\right)$ ve

B_{n}^{3} = (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}}) \sqrt{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}})}

$B_n^3=\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right) \sqrt{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right)}$

Bilgisayardaki büyük değerlendirerek hem $\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3} \to \infty$ ve $B_n^3 \to \infty$ olarak $n \to \infty$ . Ancak $B_n^3$ , daha hızlı artar, $B_n^2$ bu nedenle $\frac{\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3}}{B_n^3} \to 0$ . Birisi bu yakınsamaların kanıtlanmasında bana yardımcı olabilir mi?

probability convergence central-limit-theorem

— TiffanyButterfly
kaynak

7

Bu Patrick Billingsley'nin Olasılık ve Tedbir Örneği 27.3'tür .

— Zhanxiong

10

Bu sonucu , kümülatör üreten fonksiyonların özelliklerinden faydalanarak (tam olarak Merkezi Limit Teoreminin standart kanıtlarında olduğu gibi) ilk ilkelerden ve temel sonuçlardan göstermek öğretici olabilir . için genelleştirilmiş harmonik sayılarının büyüme oranını anlamamızı gerektirir Bu büyüme oranları iyi bilinmektedir ve integralleri ile karşılaştırılarak kolayca elde edilebilir : için yakınsak olurlar , aksi takdirde için logaritmik olarak ayrılırlar .

H (n, s) = \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$H(n,s)=\sum_{k=1}^n k^{-s}$

s = 1, 2, \dots .

$s=1, 2, \ldots.$

\int_{1}^{n} x^{- s} d x

$\int_1^n x^{-s}dx$

s > 1

$s \gt 1$

s = 1

$s=1$

Let ve . Tanım olarak, bir kümülant üreten fonksiyonu (KGF) olduğu $n \ge 2$ $1 \le k \le n$ $(X_k - 1/k)/B_n$

ψ_{k, n} (t) = \log E (\exp (\frac{X_{k} - 1 / k}{B_{n}} t)) = - \frac{t}{k B_{n}} + \log (1 + \frac{- 1 + \exp (t / B_{n})}{k}) .

$\psi_{k,n}(t) = \log\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{X_k - 1/k}{B_n}t\right)\right) = -\frac{t}{k B_n} + \log\left(1 + \frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right).$

Genişlemesi elde sağından seri açılımı, etrafında , şeklini alır $\log(1+z)$ $z=0$

ψ_{k, n} (t) = \frac{(k - 1)}{2 k^{2} B_{n}^{2}} t^{2} + \frac{k^{2} - 3 k + 2}{6 k^{3} B_{n}^{3}} t^{3} + \dots + \frac{k^{j - 1} - \dots \pm (j - 1)!}{j! k^{j} B_{n}^{j}} t^{j} + \dots .

$\psi_{k,n}(t) = \frac{(k-1)}{2 k^2 B_n^2}t^2 + \frac{k^2 - 3k + 2}{6 k^3 B_n^3} t^3 + \cdots + \frac{k^{j-1} - \cdots \pm (j-1)!}{j! k^j B_n^j}t^j + \cdots.$

Kesirlerin payları, cinsinden polinomlardır ve önde gelen terimidir . Çünkü günlük genişletme , bu genişleme kesinlikle $k$ $k^{j-1}$ $\left|\frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right| \lt 1$

| \exp (t / B_{n}) - 1 | < k .

$\left|\exp(t/B_n) - 1\right| \lt k.$

( olması durumunda her yerde birleşir.) Sabit ve artan değerleri için, (açık) ıraksaması mutlak yakınsama alanının gelişigüzel büyüdüğü anlamına gelir. Böylece, herhangi bir sabit ve yeterince büyük , bu genişleme kesinlikle birleşir. $k=1$ $k$ $n$ $B_n$ $t$ $n$

Yeterince büyük için , o zaman, bu nedenle tek tek toplamak olabilir fazla kuvvetleri terimi ile terimi ait CGF elde etmek için , $n$ $\psi_{k,n}$ $k$ $t$ $S_n/B_n$

ψ_{n} (t) = \sum_{k = 1}^{n} ψ_{k, n} (t) = \frac{1}{2} t^{2} + \dots + \frac{1}{B_{n}^{j}} (\sum_{k = 1}^{n} (k^{- 1} - \dots \pm (j - 1)! k^{- j})) \frac{t^{j}}{j} + \dots .

$\psi_n(t) = \sum_{k=1}^n \psi_{k,n}(t) = \frac{1}{2}t^2 + \cdots + \frac{1}{B_n^j}\left(\sum_{k=1}^n \left(k^{-1} - \cdots \pm (j-1)!k^{-j}\right)\right)\frac{t^j}{j} + \cdots.$

Toplamlardaki terimleri üzerinde birer birer almak, ifadeleri orantılı olarak değerlendirmemizi gerektirir. $k$

b (s, j) = \frac{1}{B_{n}^{j}} \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$b(s,j) = \frac{1}{B_n^j}\sum_{k=1}^n k^{-s}$

için ve . Giriş bölümünde belirtilen genelleştirilmiş harmonik sayılarının asimptotiklerini kullanarak, $j \ge 3$ $s=1, 2, \ldots, j$

B_{n}^{2} = H (n, 1) - H (n, 2) \sim \log (n)

$B_n^2 = H(n,1) - H(n,2) \sim \log(n)$

o

b (1, j) \sim (\log (n))^{1 - j / 2} \to 0

$b(1,j) \sim (\log(n))^{1-j/2}\to 0$

ve ( ) $s \gt 1$

b (s, j) \sim (\log (n))^{- j / 2} \to 0

$b(s,j) \sim (\log(n))^{-j/2}\to 0$

olarak büyük yetişir. Genişlemesi sonucunda tüm terimler ötesine sıfıra yakınsama, nereden yakınsak için herhangi bir değeri için . KGF yakınsama karakteristik fonksiyonunun yakınsama eder, biz sonucunu Levy Süreklilik teoremi bu olan CGF bir rastgele değişken yaklaşımlar , standart normal değişkendir: QED . $n$ $\psi_n(t)$ $t^2$ $\psi_n(t)$ $t^2/2$ $t$ $S_n/B_n$ $t^2/2$

Bu analiz, Ortaya ne kadar hassas bir yakınsama: Merkezi limit teoremi birçok versiyonlarının katsayısı ise olan için ( ), burada katsayısı sadece : yakınsama çok daha yavaştır.Bu anlamda standartlaştırılmış değişkenlerin dizisi "zar zor" Normal olur. $t^j$ $O(n^{1-j/2})$ $j \ge 3$ $O(((\log(n))^{1-j/2})$

Bu yavaş yakınsamayı bir dizi simülasyonda görebiliriz. Histogramlar , dört değeri için bağımsız yineleme gösterir . Kırmızı eğriler görsel referans için standart normal yoğunluk fonksiyonlarının grafikleridir. Her ne kadar açıkça normalliğe doğru kademeli bir eğilim olsa da, bile (burada hala büyüktür), çarpıklıkta kanıtlandığı gibi kayda değer normallik olmaya devam etmektedir ( bu örnekte eşittir ). (Bu histogramın çarpıklığının ye yakın olması şaşırtıcı değildir , çünkü cgf'deki terimi tam olarak budur .) $10^5$ $n$ $n=1000$ $(\log(n))^{-1/2} \approx 0.38$ $0.35$ $(\log(n))^{-1/2}$ $t^3$

İşte Rdaha fazla denemek isteyenler için kod.

set.seed(17)
par(mfrow=c(1,4))
n.iter <- 1e5
for(n in c(30, 100, 300, 1000)) {
  B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2))))
  x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE)
  z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n
  hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2))
  curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
kaynak

6

Şimdiden harika bir cevabın var. Kendi kanıtınızı da tamamlamak istiyorsanız, aşağıdaki gibi tartışabilirsiniz:

Yana herkes için birleşir ve için ıraksadığını ( burada ), biz yazabilirsiniz $\sum_{k=1}^n 1/k^i$ $i>1$ $i = 1$

\begin{aligned} S (n) := \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{3}{k^{4}}) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) . \end{aligned}

$\begin{align}S(n):=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k^2} + \frac{4}{k^3} - \frac{3}{k^4} \right) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1). \end{align}$

Aynı argümanla,

B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) .

$B^2_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1).$

Sonuç olarak, ve dolayısıyla, $S(n) / B_n^2 = O(1)$

S (n) / B_{n}^{3} = O (1) (B_{n}^{2})^{- 1 / 2} \to 0,

$S(n)/B_n^3 = O(1)(B_n^2)^{-1/2} \to 0,$

göstermek istediğimiz şey bu.

— Ekvall
kaynak

2

İlk olarak dağılımlar ; 'ye bağlıysa rastgele değişkenleriniz aynı şekilde dağıtılmaz .) $k$

Ayrıca ben gösterimi olarak kullanmak olmaz : $B_n$

büyük harfler genellikle rastgele değişkenler için ayrılır.
bu sadece varyansların toplamıdır, bu yüzden bunu açıkça ortaya koymak için bir sembolü içeren bir gösterim kullanırdım . $\sigma$

Sonra bunun bir egzersiz veya araştırma olup olmadığını ve hangi araçları kullanmanıza izin verildiğini bilmiyorum. Bilinen teoremleri yeniden kanıtlamaya çalışmıyorsanız, bunun sadece aynı olmayan dağıtılmış ancak tekdüze sınırlı RV için merkezi bir sınır teoremi olduğunu söyleyebilirim ve bir gün diyorum. Elimde iyi bir kaynak yok ama birini bulmak çok zor olmamalı, örneğin /mathpro/29508/is-there-a-central-limit-theorem- sınırlandırılmış-aynı-olmayan-dağılmış-rastgele .

Düzenleme: Benim kötü, tabii ki tekdüze sınırlı koşul yeterli değil, ayrıca

\sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{2} \to \infty

$\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty$

— Adrien
kaynak